Решение: Преломляющий угол трехгранной призмы равен 60°. Найти угол падения луча света

Условие задачи:

Преломляющий угол трехгранной призмы равен 60°. Найти угол падения луча света на одну из граней призмы, при котором выход луча света из второй грани становится невозможным. Показатель преломления вещества призмы относительно воздуха равен 1,5.

Задача №10.4.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varphi=60^\circ\), \(n=1,5\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Сделаем к этой задаче рисунок, без него решить задачу невозможно.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD (смотрите рисунок 1). В этом четырехугольнике два угла – прямые, поэтому угол ABC равен \(\left( {180^\circ – \varphi } \right)\). На этом рисунке теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому будет верно записать:

\[\beta + \gamma + \left( {180^\circ – \varphi } \right) = 180^\circ \]

\[\varphi = \beta + \gamma\]

Значит:

\[\beta = \varphi – \gamma\;\;\;\;(1)\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения у второй грани:

\[n\sin \gamma = {n_0}\sin \delta \]

Здесь \(\gamma\) – угол падения луча, \(\delta\) – угол преломления луча, равный в данном случае 90 °, \(n\) и \(n_0\) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_0\) равен 1. Поэтому:

\[n\sin \gamma = 1\]

\[\sin \gamma = \frac{1}{n}\]

\[\gamma = \arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)\]

Тогда формула (1) примет следующий вид:

\[\beta = \varphi – \arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Чтобы найти угол падения \(\alpha\), опять запишем закон преломления света:

\[{n_0}\sin \alpha = {n}\sin \beta \]

Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) – угол падения и угол преломления соответственно, \(n\) и \(n_0\) – показатели преломления сред. Тогда, так как \(n_0=1\), имеем:

\[\sin \alpha = n\sin \beta \]

\[\alpha = \arcsin \left( {n\sin \beta } \right)\]

Учитывая (2), получим:

\[\alpha = \arcsin \left( {n\sin \left( {\varphi – \arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)} \right)\]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\alpha = \arcsin \left( {1,5 \cdot \sin \left( {60^\circ – \arcsin \left( {\frac{1}{{1,5}}} \right)} \right)} \right) = 27,92^\circ \]