Условие задачи:
При фотографировании предмета с расстояния 1 м высота изображения равна 6 см, а при фотографировании с расстояния 5 м высота изображения равна 1 см. Определить фокусное расстояние объектива фотоаппарата.
Задача №10.5.69 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(d_1=1\) м, \(h_1=6\) см, \(d_2=5\) м, \(h_2=1\) см, \(F-?\)
Решение задачи:
В фотоаппарате установлена собирающая линза, поскольку только она может давать действительное изображение. При этом, очевидно, что предмет всегда расположен левее относительно переднего фокуса линзы (\({d} > {F}\)).
Покажем общий принцип построения изображения в собирающей линзе для случая \({d} > {F}\) (см. рисунок). Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение телебашни построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и (скорее всего) уменьшенным.
Запишем формулу тонкой линзы:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Из подобия треугольников AOB и A1OB1 по трем углам следует, что (при этом эти две дроби ещё равны и поперечному увеличению (хотя в этом случае корректнее назвать уменьшением) линзы \(\Gamma\)):
\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{h}{H}\;\;\;\;(2)\]
Тогда из формулы (1) выразим неизвестное расстояние от линзы до изображения \(f\):
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{F} – \frac{1}{d}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{{d – F}}{{dF}}\]
\[f = \frac{{dF}}{{d – F}}\;\;\;\;(3)\]
Подставим выражение (3) в формулу (2):
\[\frac{{dF}}{{d\left( {d – F} \right)}} = \frac{h}{H}\]
\[\frac{F}{{d – F}} = \frac{h}{H}\]
Полученную формулу запишем для двух случаев, рассматриваемых в этой задаче:
\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{F}{{{d_1} – F}} = \frac{{{h_1}}}{H} \hfill \\
\frac{F}{{{d_2} – F}} = \frac{{{h_2}}}{H} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим верхнее уравнение на нижнее:
\[\frac{{{d_2} – F}}{{{d_1} – F}} = \frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}\]
Перемножим “крест-накрест”, чтобы решить это уравнение:
\[\left( {{d_2} – F} \right){h_2} = \left( {{d_1} – F} \right){h_1}\]
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
\[{d_2}{h_2} – F{h_2} = {d_1}{h_1} – F{h_1}\]
Все члены с искомым фокусным расстоянием \(F\) перенесем в левую сторону, остальные – в правую:
\[F{h_1} – F{h_2} = {d_1}{h_1} – {d_2}{h_2}\]
\[F\left( {{h_1} – {h_2}} \right) = {d_1}{h_1} – {d_2}{h_2}\]
Окончательно получим такое решение представленной задачи в общем виде:
\[F = \frac{{{d_1}{h_1} – {d_2}{h_2}}}{{{h_1} – {h_2}}}\]
Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):
\[F = \frac{{1 \cdot 0,06 – 5 \cdot 0,01}}{{0,06 – 0,01}} = 0,2\;м = 20\;см\]
Ответ: 20 см.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.68 С самолета, летящего на высоте 12 км, сфотографирована местность в масштабе 1:16000
10.5.70 Светящаяся точка приближается к собирающей линзе вдоль ее главной оптической оси
10.5.71 Небольшому шарику, который находится на поверхности горизонтально расположенной
![](/mark_r_img.png)