Условие задачи:
Расстояние между лампой и экраном 3,2 м. Фокусное расстояние линзы 0,6 м. Определить, на каком расстоянии от лампы надо поместить линзу, чтобы получить четкое действительное изображение лампы на экране, увеличенное в 3 раза.
Задача №10.5.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(z=3,2\) м, \(F=0,6\) м, \(\Gamma=3\), \(d-?\)
Решение задачи:
В задаче мы имеем дело с собирающей линзой, так как только с помощью такой линзы можно получить изображение на экране. При этом предмет должен находится левее переднего фокуса линзы, то есть \({d} > {F}\). Если в задаче пишут, что получено четкое изображение, значит это изображение получилось на экране (то есть точки A1 и B1 лежат на экране, смотрите рисунок).
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).
Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\]
В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Приведем уравнение под общий знаменатель:
\[\frac{1}{F} = \frac{{d + f}}{{df}}\;\;\;\;(1)\]
Из рисунка видно, данное в условии расстояние между лампой (предметом) и экраном \(z\) можно выразить следующим образом:
\[z = d + f\;\;\;\;(2)\]
Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A1OB1):
\[\Gamma = \frac{f}{d}\]
Тогда:
\[f = \Gamma d\;\;\;\;(3)\]
Подставим выражение (2) в числитель правой части уравнения (1), а выражение (3) – в знаменатель правой части уравнения (1):
\[\frac{1}{F} = \frac{z}{{\Gamma {d^2}}}\]
Тогда, перемножив “крест-накрест”, получим:
\[Fz = \Gamma {d^2}\]
Окончательно получим такое решение этой задачи в общем виде:
\[d = \sqrt {\frac{{Fz}}{\Gamma }} \]
Посчитаем численный ответ задачи:
\[d = \sqrt {\frac{{0,6 \cdot 3,2}}{3}} = 0,8\;м = 80\;см\]
Кстати, условие задачи избыточно, её можно решить и без известного расстояния \(z\) – попробуйте проделать это сами.
Ответ: 80 см.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.9 Светящийся предмет находится на расстоянии 3 м от экрана. На каком минимальном
10.5.11 Предмет находится на расстоянии 12 см от двояковогнутой линзы, фокусное расстояние
10.5.12 Фокусное расстояние собирающей линзы равно 0,15 м. Определить высоту предмета
![](/mark_r_img.png)