Условие задачи:
Расстояние между предметом и экраном равно 120 см. На каком максимальном расстоянии от предмета следует поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием 25 см, чтобы на экране получилось отчетливое изображение предмета?
Задача №10.5.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(z=120\) см, \(F=25\) см, \(d_{\max}-?\)
Решение задачи:
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.
Запишем формулу тонкой линзы:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) \(z\) можно выразить следующим образом:
\[z = d + f\]
Имеем:
\[f = z – d\;\;\;\;(2)\]
Тогда уравнение (1) с учетом выражения (2) примет вид:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{z – d}}\]
Приведем правую часть уравнения под общий знаменатель:
\[\frac{1}{F} = \frac{{z – d + d}}{{d\left( {z – d} \right)}}\]
\[\frac{1}{F} = \frac{z}{{d\left( {z – d} \right)}}\]
Перемножим “крест-накрест”, раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:
\[zF = d\left( {z – d} \right)\]
\[zF = dz – {d^2}\]
\[{d^2} – zd + zF = 0\]
Мы получили квадратное уравнение относительно \(d\), для его решения сначала вычислим дискриминант \(D_{диск}\):
\[{D_{диск}} = {z^2} – 4zF\]
Дискриминант явно больше нуля (Вы можете это проверить, подставив численные значения из условия задачи). Значит:
\[d = \frac{{z \pm \sqrt {{z^2} – 4zF} }}{2}\]
Так как в условии просят найти максимальное расстояние от предмета до линзы, поэтому мы выбираем корень со знаком “+”. Окончательно получим такое решение этой задачи в общем виде:
\[d_{\max} = \frac{{z + \sqrt {{z^2} – 4zF} }}{2}\]
Посчитаем численный ответ задачи:
\[d_{\max} = \frac{{1,2 + \sqrt {{{1,2}^2} – 4 \cdot 1,2 \cdot 0,25} }}{2} = 0,845\;м\]
Ответ: 0,845 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.24 Точечный источник света находится на расстоянии 50 см от собирающей линзы
10.5.26 Изображение миллиметрового деления шкалы, расположенной перед линзой
10.5.27 Расстояние между лампой и экраном 3,2 м. Фокусное расстояние линзы 0,6 м.
![](/mark_r_img.png)