Условие задачи:
Собирающая линза дает изображение предмета, увеличенное в 5 раз. Экран придвинули к предмету на 50 см, затем переместили линзу так, что предмет на экране получился в натуральную величину. Найти оптическую силу линзы.
Задача №10.5.53 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\Gamma_1=5\), \(\Delta z =50\) см, \(\Gamma_2=1\), \(D-?\)
Решение задачи:
Так как c помощью линзы получают действительное изображение предмета на экране, значит мы имеем дело с собирающей линзой, поскольку рассеивающая линза не может давать такого изображения. При этом расстояние от предмета до линзы в обоих случаях должно быть больше фокусного расстояния, т.е. предмет находится левее заднего фокуса линзы (см. рисунки к задаче).
Покажем общий принцип построения изображения в собирающей линзе. Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в данном случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.
Из рисунков хорошо видно, что:
\[\Delta z = {z_1} – {z_2}\]
Понятно, что расстояние от предмета до экрана \(z\) есть сумма расстояния от предмета до линзы \(d\) и от линзы до экрана \(f\), поэтому:
\[\Delta z = {d_1} + {f_1} – {d_2} – {f_2}\]
Известно, что поперечное увеличение линзы можно найти \(\Gamma\) можно выразить как отношение расстояния от линзы до экрана \(f\) к расстоянию от предмета до линзы \(d\), то есть:
\[\Gamma = \frac{f}{d} \Rightarrow f = \Gamma d\;\;\;\;(1)\]
Тогда:
\[\Delta z = {d_1} + {\Gamma _1}{d_1} – {d_2} – {\Gamma _2}{d_2}\]
\[\Delta z = {d_1}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right) – {d_2}\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)\;\;\;\;(2)\]
Запишем формулу тонкой линзы для собирающей линзы для случая, когда линза дает действительное изображение:
\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(3)\]
В этой формуле \(D\) – оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Запишем формулу (3) для двух случаев, описанных в условии задачи:
\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{f_1}}} \hfill \\
D = \frac{1}{{{d_2}}} + \frac{1}{{{f_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Учитывая (1), система примет вид:
\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{\Gamma _1}{d_1}}} \hfill \\
D = \frac{1}{{{d_2}}} + \frac{1}{{{\Gamma _2}{d_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{{{\Gamma _1} + 1}}{{{\Gamma _1}{d_1}}} \;\;\;\;(4)\hfill \\
D = \frac{{{\Gamma _2} + 1}}{{{\Gamma _2}{d_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Имеем следующее уравнение:
\[\frac{{{\Gamma _1} + 1}}{{{\Gamma _1}{d_1}}} = \frac{{{\Gamma _2} + 1}}{{{\Gamma _2}{d_2}}}\]
Выразим отсюда \(d_2\):
\[{d_2} = \frac{{{\Gamma _1}{d_1}\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
Полученное выражение подставим в (2):
\[\Delta z = {d_1}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right) – \frac{{{\Gamma _1}{d_1}{{\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}^2}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
Приведем в правой части под общий знаменатель:
\[\Delta z = \frac{{{\Gamma _2}{d_1}{{\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}^2} – {\Gamma _1}{d_1}{{\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}^2}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _2}{{\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}^2} – {\Gamma _1}{{\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}^2}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
Раскроем скобки в числителе правой части:
\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _2}\Gamma _1^2 + 2{\Gamma _1}{\Gamma _2} + {\Gamma _2} – {\Gamma _1}\Gamma _2^2 – 2{\Gamma _1}{\Gamma _2} – {\Gamma _1}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _2}\Gamma _1^2 + {\Gamma _2} – {\Gamma _1}\Gamma _2^2 – {\Gamma _1}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _1}{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} – {\Gamma _2}} \right) – \left( {{\Gamma _1} – {\Gamma _2}} \right)}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
\[\Delta z = {d_1}\frac{{\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} – 1} \right)\left( {{\Gamma _1} – {\Gamma _2}} \right)}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
Откуда выразим \(d_1\):
\[{d_1} = \frac{{\Delta z{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}{{\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} – 1} \right)\left( {{\Gamma _1} – {\Gamma _2}} \right)}}\]
Осталось только полученное выражение подставить в уравнение (4):
\[D = \frac{{\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} – 1} \right)\left( {{\Gamma _1} – {\Gamma _2}} \right)}}{{{\Gamma _1}\Delta z{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]
\[D = \frac{{\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} – 1} \right)\left( {{\Gamma _1} – {\Gamma _2}} \right)}}{{\Delta z{\Gamma _1}{\Gamma _2}}}\]
Посчитаем численный ответ данной задачи:
\[D = \frac{{\left( {5 \cdot 1 – 1} \right)\left( {5 – 1} \right)}}{{0,5 \cdot 5 \cdot 1}} = 6,4\;дптр\]
Ответ: 6,4 дптр.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.52 Предмет расположен на расстоянии 1,6F от линзы. Его переместили к линзе на расстояние
10.5.54 Собирающая линза дает двукратное изображение предмета. Когда линзу придвинули
10.5.55 Расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения предмета одинаковы
![](/mark_r_img.png)