Условие задачи:
Собирающая линза дает прямое изображение предмета с увеличением ?=2. Расстояние между предметом и изображением 22,5 см. Найдите фокусное расстояние линзы.
Задача №10.5.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\Gamma=2\), \(z=22,5\) см, \(F-?\)
Решение задачи:
Известно, что собирающая линза дает прямое изображение предмета, когда предмета расположен между линзой и передним фокусом линзы, то есть \({d} < {F}\).
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).
Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A1OB1):
\[\Gamma = \frac{f}{d}\]
Тогда:
\[f = \Gamma d\;\;\;\;(1)\]
Запишем формулу тонкой линзы:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{f}\;\;\;\;(2)\]
В этой формуле \(F\) – фокусное расстояние линзы, знак перед ней “+”, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “-“, поскольку изображение – мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Подставим выражение (1) в формулу (2):
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} – \frac{1}{{\Gamma d}}\]
Приведем под общий знаменатель в правой части полученного уравнения:
\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma – 1}}{{\Gamma d}}\]
Тогда:
\[F = \frac{{\Gamma d}}{{\Gamma – 1}}\;\;\;\;(3)\]
Из рисунка хорошо видно, что расстояние между предметом и изображением \(z\) можно выразить следующим образом:
\[z = f – d\]
Учитывая (1), имеем:
\[z = \Gamma d – d\]
\[z = d\left( {\Gamma – 1} \right)\]
Поэтому:
\[d = \frac{z}{{\Gamma – 1}}\;\;\;\;(4)\]
Полученное выражение (4) подставим в формулу (3):
\[F = \frac{\Gamma }{{\Gamma – 1}} \cdot \frac{z}{{\Gamma – 1}}\]
Окончательно получим такое решение задачи в общем виде:
\[F = \frac{{z\Gamma }}{{{{\left( {\Gamma – 1} \right)}^2}}}\]
Численный ответ этой задачи равен (не забываем переводить численные значения в систему СИ):
\[F = \frac{{0,225 \cdot 2}}{{{{\left( {2 – 1} \right)}^2}}} = 0,45\;м = 45\;см\]
Ответ: 45 см.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.4 На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см получится
10.5.6 На каком расстоянии от выпуклой линзы с фокусным расстоянием 32 см следует поместить
10.5.7 Линза дает увеличение предмета в три раза, если предмет находится на расстоянии 10 см
![](/mark_r_img.png)
А почему мы используем формулу рассеивающей линзы, а не собирающей?
Ошибаетесь, мы используем формулу собирающей линзы для случая \({d} < {F}\). В формуле рассеивающей линзы перед \(\frac{1}{F}\) стоит знак "минус", так как оптическая сила такой линзы отрицательная.