Условие задачи:
Светящаяся точка приближается к собирающей линзе вдоль ее главной оптической оси с постоянной скоростью 2 см/с. Какова средняя скорость движения изображения точки на участке пути между двумя его положениями, удаленными от линзы на расстояния, равные двум и четырем фокусным расстояниям линзы?
Задача №10.5.70 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\upsilon=2\) см/с, \(f_1=2F\), \(f_2=4F\), \(u_{ср}-?\)
Решение задачи:
Очевидно, что среднюю скорость движения изображения светящейся точки можно определить по следующей довольно простой формуле:
\[{u_{ср}} = \frac{{{f_2} — {f_1}}}{t}\]
Так как по условию задачи \(f_1=2F\) и \(f_2=4F\), то:
\[{u_{ср}} = \frac{{4F — 2F}}{t}\]
\[{u_{ср}} = \frac{{2F}}{t}\;\;\;\;(1)\]
Чтобы получить ответ на вопрос задачи, нам нужно найти время \(t\), за которое изображение светящейся точки прошло путь \(2F\). Как это можно сделать? В данном случае мы можем это сделать через движение самой движущейся точки, ведь мы можем определить, где находится точка, когда её изображение находится на расстояниях \(f_1\) и \(f_2\), а также мы знаем скорость движения точки \(\upsilon\):
\[t = \frac{{{d_1} — {d_2}}}{\upsilon }\;\;\;\;(2)\]
Запишем формулу тонкой линзы:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(3)\]
В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).
Тогда из формулы (3) выразим неизвестное расстояние от линзы до изображения \(d\):
\[\frac{1}{d} = \frac{1}{F} — \frac{1}{f}\]
\[\frac{1}{d} = \frac{{f — F}}{{Ff}}\]
\[d = \frac{{fF}}{{f — F}}\]
Запишем полученную формулу для определения расстояний \(d_1\) и \(d_2\):
\[\left\{ \begin{gathered}
{d_1} = \frac{{{f_1}F}}{{{f_1} — F}} \hfill \\
{d_2} = \frac{{{f_2}F}}{{{f_2} — F}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Опять вспоминаем, что по условию задачи \(f_1=2F\) и \(f_2=4F\), поэтому:
\[\left\{ \begin{gathered}
{d_1} = \frac{{2F \cdot F}}{{2F — F}} \hfill \\
{d_2} = \frac{{4F \cdot F}}{{4F — F}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[\left\{ \begin{gathered}
{d_1} = 2F \hfill \\
{d_2} = \frac{{4F}}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
С учетом полученного формула (2) примет вид:
\[t = \frac{{2F — \frac{{4F}}{3}}}{\upsilon }\]
\[t = \frac{{2F}}{{3\upsilon }}\]
Осталось только полученное выражение подставить в формулу (1):
\[{u_{ср}} = \frac{{2F \cdot 3\upsilon }}{{2F}}\]
\[{u_{ср}} = 3\upsilon \]
Посчитаем численный ответ:
\[{u_{ср}} = 3 \cdot 0,02 = 0,06\;м/с = 6\;см/с\]
Ответ: 6 см/с.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.69 При фотографировании предмета с расстояния 1 м высота изображения равна 6 см
10.5.71 Небольшому шарику, который находится на поверхности горизонтально расположенной
10.5.72 Точечный предмет движется по окружности со скоростью 0,04 м/с вокруг главной
![](/mark_r_img.png)