Решение: Светящийся предмет находится на расстоянии 3 м от экрана. На каком минимальном

Условие задачи:

Светящийся предмет находится на расстоянии 3 м от экрана. На каком минимальном расстоянии от экрана надо поместить линзу в 4 дптр, чтобы получить на экране изображение предмета?

Задача №10.5.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(z=3\) м, \(D=4\) дптр, \(f_{\min}-?\)

Решение задачи:

Понятно, что в данном случае мы имеем дело с собирающей линзой. Почему? Во-первых, она имеет положительную оптическую силу. Во-вторых, действительное изображение на экране может давать только собирающая линза. Также понятно, что:

предмет находится левее переднего фокуса линзы, ведь в в противном случае линза уже давала бы мнимое изображение, а на экране можно получить только действительное изображение;
изображение находится правее заднего фокуса линзы, так как в собирающей линзе действительное изображение не может получится между линзой и задним фокусом.

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(D\) – оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).

Из рисунка понятно, что расстояние между предметом и изображением (экраном) \(z\) можно выразить следующим образом:

\[z = f + d\]

Откуда выразим неизвестное расстояние от линзы до предмета \(d\):

\[d = z – f\]

Полученное выражение подставим в формулу (1):

\[D = \frac{1}{{z – f}} + \frac{1}{f}\]

Приведем в правой части под общий знаменатель:

\[D = \frac{{f + z – f}}{{\left( {z – f} \right)f}}\]

\[D = \frac{z}{{\left( {z – f} \right)f}}\]

Раскроем скобки в знаменателе дроби:

\[D = \frac{z}{{zf – {f^2}}}\]

Тогда:

\[Dzf – D{f^2} – z = 0\]

\[D{f^2} – Dzf + z = 0\]

Определим дискриминант этого квадратного уравнения \(D_{диск}\):

\[{D_{диск}} = {D^2}{z^2} – 4Dz\]

Если вы подставите численные значения величин, то убедитесь, что дискриминант данного уравнения больше нулю, то есть оно имеет два корня, которые мы найдем вот так:

\[f = \frac{{Dz \pm \sqrt {{D^2}{z^2} – 4Dz} }}{{2D}}\]

\[f = \frac{z}{2} \pm \sqrt {\frac{{{D^2}{z^2} – 4Dz}}{{4{D^2}}}} \]

\[f = \frac{z}{2} \pm \sqrt {\frac{{z\left( {Dz – 4} \right)}}{{4D}}} \]

Поскольку в задаче требуется найти минимальное расстояние от экрана, то выберем корень со знаком “минус”:

\[{f_{\min }} = \frac{z}{2} – \sqrt {\frac{{z\left( {Dz – 4} \right)}}{{4D}}} \]

Численный ответ задачи равен:

\[{f_{\min }} = \frac{3}{2} – \sqrt {\frac{{3 \cdot \left( {4 \cdot 3 – 4} \right)}}{{4 \cdot 4}}} = 0,275\;м\]