Условие задачи:
Точечный источник света находится на расстоянии 40 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 30 см. На каком расстоянии от линзы нужно установить экран, чтобы сфокусированный на нем пучок света имел диаметр 1 см? Диаметр линзы 4 см.
Задача №10.5.63 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(d=40\) см, \(F=30\) см, \(D_1=1\) см, \(D_2=4\) см, \(l-?\)
Решение задачи:
Покажем общий принцип построения изображения точечного источника света в собирающей линзе. Чтобы построить изображение точечного источника света A в собирающей линзе, нужно провести через точку A луч a, проходящий через крайнюю точку линзы (в общем случае необязательно проводить именно такой луч, но в данной задаче это нужно для решения), этот луч пересечет линзу в точке B. Далее через главный оптический центр проведем прямую b параллельную лучу a, которая пересечет заднюю фокальную плоскость в точке C. Далее необходимо провести через точки B и C прямую c, которая пересечет главную оптическую ось в точке D. Точка D и есть изображение точечного источника света A. Так как экран расположен левее этого изображения, то на нем будет возникать освещенное пятно диаметра \(D_1\).
Из рисунка прекрасно видно, что треугольники OBD и FCD подобны по трем углам, поэтому верно записать:
\[\frac{{{D_1}}}{{{D_2}}} = \frac{{f — l}}{f}\]
Перемножим «крест-накрест»:
\[{D_1}f = {D_2}\left( {f — l} \right)\]
\[{D_1}f = {D_2}f — {D_2}l\]
\[f\left( {{D_2} — {D_1}} \right) = {D_2}l\]
\[l = f\frac{{{D_2} — {D_1}}}{{{D_2}}}\;\;\;\;(1)\]
Запишем формулу тонкой линзы для того, чтобы определить неизвестное расстояние \(f\):
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\]
В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).
Выразим из формулы тонкой линзы расстояние \(f\):
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{F} — \frac{1}{d}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{{d — F}}{{dF}}\]
\[f = \frac{{dF}}{{d — F}}\;\;\;\;(2)\]
Подставим (2) в формулу (1), так мы получим решение этой задачи в общем виде:
\[l = \frac{{dF}}{{d — F}} \cdot \frac{{{D_2} — {D_1}}}{{{D_2}}}\]
Посчитаем численный ответ:
\[l = \frac{{0,4 \cdot 0,3}}{{0,4 — 0,3}} \cdot \frac{{0,04 — 0,01}}{{0,04}} = 0,9\;м\]
Ответ: 0,9 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.62 Середина стержня, имеющего длину 10 мм, находится на расстоянии 18 см от собирающей
10.5.64 На расстоянии 60 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 50 см находится
10.5.65 Какое линейное увеличение можно получить при помощи проекционного аппарата
![](/mark_r_img.png)