Условие задачи:
В водоем на некоторую глубину помещают источник белого света. Показатели преломления воды для красных и фиолетовых лучей равны соответственно 1,328 и 1,335. Вычислить отношение радиусов кругов, в пределах которых возможен выход красных и фиолетовых лучей в воздух (большего к меньшему).
Задача №10.4.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(n_к=1,328\), \(n_ф=1,335\), \(\frac{r_к}{r_ф}-?\)
Решение задачи:
Если лучи от источника белого света будут идти под углами большими, чем угол полного внутреннего отражения, то никакие лучи из воды выходить не будут (см. рисунок к задаче).
Из прямоугольного треугольника можно найти искомый радиус \(r\):
\[r = h \cdot tg{\alpha _{пр}}\;\;\;\;(1)\]
Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения при переходе светового луча из воды в воздух:
\[n\sin \alpha_{пр} = {n_0}\sin {\beta}\]
Здесь \(\alpha_{пр}\) — предельный угол полного внутреннего отражения, \(\beta\) — угол преломления, равный в данном случае 90°, \(n\) и \(n_0\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_0\) равен 1, показатель преломления воды \(n\). Так как \(n_0=1\) и \(\sin \beta_0 = 1\), то:
\[n\sin {\alpha _{пр}} = 1\]
\[\sin {\alpha _{пр}} = \frac{1}{n}\]
\[{\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)\]
Полученное выражение подставим в формулу (1):
\[r = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)\;\;\;\;(2)\]
Тогда радиусы кругов для красных и фиолетовых лучей \({r_к}\) и \({r_ф}\) можно найти по соответствующим формулам:
\[\left\{ \begin{gathered}
{r_к} = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_к}}}} \right)} \right) \hfill \\
{r_ф} = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_ф}}}} \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Из формулы (2) видно, что чем меньше показатель преломления \(n\), тем больше радиус круга \(r\). Учитывая то, что \({n_к} < {n_ф}\), значит \({r_к} > {r_ф}\). Тогда в задаче нам нужно найти отношение \(\frac{r_к}{r_ф}\):
\[\frac{{{r_к}}}{{{r_ф}}} = \frac{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_к}}}} \right)} \right)}}{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_ф}}}} \right)} \right)}}\]
Задача решена, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:
\[\frac{{{r_к}}}{{{r_ф}}} = \frac{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{1,328}}} \right)} \right)}}{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{1,335}}} \right)} \right)}} = 1,01\]
Ответ: 1,01.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.4.15 Преломляющий угол трехгранной призмы равен 60°. Найти угол падения луча света
10.4.17 Луч света переходит из воды в воздух. Угол падения луча 52°. Определить угол
10.4.18 Предельный угол полного внутреннего отражения для воздуха и стекла 34°. Определить
![](/mark_r_img.png)