Решение: Параметры контуров таковы: C1=120 пФ, L1=3,5 мГн, C2=150 пФ, L2=5 мГн. На сколько

Условие задачи:

Параметры контуров таковы: \(C_1=120\) пФ, \(L_1=3,5\) мГн, \(C_2=150\) пФ, \(L_2=5\) мГн. На сколько нужно изменить емкость \(C_2\), чтобы контуры были настроены в резонанс?

Задача №9.12.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_1=120\) пФ, \(L_1=3,5\) мГн, \(C_2=150\) пФ, \(L_2=5\) мГн, \(\Delta C-?\)

Решение задачи:

Собственную частоту колебаний колебательного контура можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Контуры будут настроены в резонанс, если частоты их колебаний будут равны. Учитывая, что в условии сказано, что емкость конденсатора \(C_2\) для настройки в резонанс нужно будет изменить, запишем:

\[\frac{1}{{2\pi \sqrt {{L_1}{C_1}} }} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {{L_2}\left( {{C_2} + \Delta C} \right)} }}\]

Тогда:

\[{L_1}{C_1} = {L_2}\left( {{C_2} + \Delta C} \right)\]

Раскроем скобки в правой части:

\[{L_1}{C_1} = {L_2}{C_2} + {L_2}\Delta C\]

Выразим искомое изменение емкости конденсатора \(\Delta C\):

\[{L_2}\Delta C = {L_1}{C_1} — {L_2}{C_2}\]

\[\Delta C = \frac{{{L_1}{C_1} — {L_2}{C_2}}}{{{L_2}}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[\Delta C = \frac{{3,5 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 120 \cdot {{10}^{ — 12}} — 5 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 150 \cdot {{10}^{ — 12}}}}{{5 \cdot {{10}^{ — 3}}}} = — 66 \cdot {10^{ — 12}}\;Ф = — 66\;пФ\]

Знак «минус» показывает, что емкость второго конденсатора нужно уменьшать.