Решение: Первый шарик, подвешенный на нити длиной 1 м, отклонили от положения равновесия

Условие задачи:

Первый шарик, подвешенный на нити длиной 1 м, отклонили от положения равновесия на малый угол и отпустили. Второй шарик падает свободно без начальной скорости из точки подвеса нити. Во сколько раз время движения первого шарика до точки равновесия превышает время движения второго, если движение они начали одновременно?

Задача №9.2.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=1\) м, \(\frac{t_1}{t_2}-?\)

Решение задачи:

Сначала рассмотрим движение первого шарика. Так как по условию задачи шарик отклонили от положения равновесия на малый угол и отпустили, то понятно, что шарик будет двигаться колебательно. Уравнение этих колебаний представим в виде:

\[x = A\cos \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти время \(t_1\), за которое шарик дойдет до положения равновесия, нужно решить уравнение (1) для условия \(x=0\), то есть:

\[0 = A\cos \left( {\omega t_1} \right)\]

\[\cos \left( {\omega t_1} \right) = 0\]

\[\omega {t_1} = \frac{\pi }{2}\]

\[{t_1} = \frac{\pi }{{2\omega }}\]

Циклическую частоту колебаний математического маятника \(\omega\) можно найти по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(g\) — ускорение свободного падения, \(l\) — длина нити математического маятника.

Тогда имеем:

\[{t_1} = \frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{l}{g}} \]

Отлично! Теперь будем думать, как найти время \(t_2\), за которое второй шарик пройдет при свободном падении расстояние от точки подвеса до точки равновесия. Понятно, что в таком случае второй шарик пройдет путь, равный \(l\). Уравнение пути в таком случае будет выглядеть так:

\[l = \frac{{gt_2^2}}{2}\]

Откуда время \(t_2\) равно:

\[{t_2} = \sqrt {\frac{{2l}}{g}} \]

Тогда искомое отношение \(\frac{t_1}{t_2}\) равно:

\[\frac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = \frac{{\pi \sqrt l \sqrt g }}{{2\sqrt g \sqrt 2 \sqrt l }}\]

\[\frac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = \frac{\pi }{{2\sqrt 2 }}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[\frac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = \frac{{3,14}}{{2\sqrt 2 }} = 1,11\]