Решение: Плоский воздушный конденсатор зарядили до 50 В и отключили от источника тока

Условие задачи:

Плоский воздушный конденсатор зарядили до 50 В и отключили от источника тока. Затем между пластинами конденсатора вставили стеклянную пластину. Определить установившуюся разность потенциалов.

Задача №6.4.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U_1=50\) В, \(\varepsilon _2= 6\), \(U_2-?\)

Решение задачи:

Если над конденсатором производят какие-то действия, когда он отключен от источника тока, то постоянным будет оставаться заряд его пластин. Запишем следующую формулу для электроемкости \(C\) и выразим оттуда заряд \(q\):

\[C = \frac{q}{U}\]

\[q = CU\;\;\;\;(1)\]

Пусть \(C_1\) — начальная электроемкость конденсатора, \(C_2\) — конечная электроемкость конденсатора, тогда зная, что \(q = const\), будет правильным записать:

\[{C_1}{U_1} = {C_2}{U_2}\]

Выразим искомую разность потенциалов \(U_2\):

\[{U_2} = {U_1}\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\;\;\;\;(2)\]

Значит нам нужно найти отношение начальной электроемкости \(C_1\) к конечной \(C_2\). В общем случае электроемкость плоского конденсатора определяют по формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\]

Используем последнюю формулу для определения начальной и конечной электроемкости нашего конденсатора:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(\varepsilon _1\) — диэлектрическая проницаемость воздуха, равная 1, \(\varepsilon _2\) — диэлектрическая проницаемость стекла, равная 6.

Разделим верхнее равенство на нижнее, чтобы найти отношение \(\frac{C_1}{C_2}\):

\[\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _2}}}\]

Учитывая это, формула (2) примет такой вид:

\[{U_2} = {U_1}\frac{{{\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _2}}}\]

Задача решена в общем виде. Подставим в формулу численные значения величин и посчитаем ответ:

\[{U_2} = 50 \cdot \frac{1}{6} = 8,33\;В\]