Условие задачи:
Батарея элементов замкнута двумя проводниками сопротивлением 4 Ом каждый, соединенный параллельно. При этом напряжение на зажимах батареи 6 В. Если один проводник отключить, напряжение на зажимах будет 8 В. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.
Задача №7.2.27 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(R=4\) Ом, \(U_1=6\) В, \(U_2=8\) В, \(\rm E-?\), \(r-?\)
Решение задачи:
Если в первом случае через батарею течет ток \(I_1\), а внешнее сопротивление цепи равно \(R_1\), то напряжение на зажимах батареи \(U_1\) в этом случае равно:
\[{U_1} = {I_1}{R_1}\]
Аналогично, во втором случае напряжение на зажимах батареи \(U_2\) равно:
\[{U_2} = {I_2}{R_2}\]
То есть мы имеем такую систему:
\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = {I_1}{R_1} \hfill \\
{U_2} = {I_2}{R_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Очевидно, что внешнее сопротивление цепи \(R_1\) в первом случае равно эквивалентному сопротивлению двух одинаковых параллельно соединенных проводников \(R\), а во втором – сопротивлению проводника \(R\), то есть:
\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = \frac{R}{2} \hfill \\
{R_2} = R \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Силы тока \(I_1\) и \(I_2\) определим, воспользовавшись законом Ома для полной цепи:
\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{{R_1} + r}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{{R_2} + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Учитывая ранее полученные выражения для сопротивлений, имеем:
\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{2{\rm E}}}{{R + 2r}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{R + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Тогда самая первая система привет вид:
\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = \frac{{{\rm E}R}}{{R + 2r}} \hfill \\
{U_2} = \frac{{{\rm E}R}}{{R + r}} \;\;\;\;(1)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Значит мы имеем такое равенство:
\[{U_1}\left( {R + 2r} \right) = {U_2}\left( {R + r} \right)\]
Раскроем скобки в обеих частях равенства, все члены с неизвестным \(r\) перенесем в левую часть, остальные – в правую, далее вынесем неизвестное внутреннее сопротивление \(r\) за скобки и выразим его:
\[{U_1}R + 2{U_1}r = {U_2}R + {U_2}r\]
\[2{U_1}r – {U_2}r = {U_2}R – {U_1}R\]
\[r\left( {2{U_1} – {U_2}} \right) = R\left( {{U_2} – {U_1}} \right)\]
\[r = \frac{{R\left( {{U_2} – {U_1}} \right)}}{{2{U_1} – {U_2}}}\;\;\;\;(2)\]
Отлично, на один вопрос задачи мы ответили. Давайте из формулы (1) выразим ЭДС:
\[{\rm E} = {U_2}\frac{{R + r}}{R}\]
\[{\rm E} = {U_2}\left( {1 + \frac{r}{R}} \right)\]
Подставим в эту формулу выражение (2):
\[{\rm E} = {U_2}\left( {1 + \frac{{{U_2} – {U_1}}}{{2{U_1} – {U_2}}}} \right)\]
В скобках приведем под общий знаменатель:
\[{\rm E} = {U_2}\frac{{2{U_1} – {U_2} + {U_2} – {U_1}}}{{2{U_1} – {U_2}}}\]
\[{\rm E} = \frac{{{U_1}{U_2}}}{{2{U_1} – {U_2}}}\]
Остается только посчитать численные значения ответов к задаче:
\[r = \frac{{4 \cdot \left( {8 – 6} \right)}}{{2 \cdot 6 – 8}} = 2\;Ом\]
\[{\rm E} = \frac{{6 \cdot 8}}{{2 \cdot 6 – 8}} = 12\;В\]
Ответ: 12 В; 2 Ом.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
7.2.26 Аккумулятор подключен для зарядки к сети с напряжением 12,5 В. Внутреннее сопротивление
7.2.28 Цепь состоит из аккумулятора с внутренним сопротивлением 5 Ом и нагрузки 15 Ом
7.2.29 Два источника с одинаковыми ЭДС 2 В и внутренними сопротивлениями 0,2 и 0,4 Ом соединены