Условие задачи:
К источнику тока подключен реостат. При сопротивлении реостата 4 Ом и 9 Ом получается одинаковая полезная мощность, равная 25 Вт. Найти ЭДС источника тока.
Задача №7.4.42 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(R_1=4\) Ом, \(R_2=9\) Ом, \(P_1=P_2=25\) Вт, \(\rm E-?\)
Решение задачи:
Известно, что полезную мощность \(P\) (т.е. мощность, выделяющуюся во внешней цепи, а в нашем случае — в реостате) можно определить по такой формуле:
\[P = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]
Силу тока в цепи \(I\) найдем по закону Ома для полной цепи:
\[I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение для тока (2) в формулу (1):
\[P = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}\]
Отлично, тогда запишем эту формулу для двух значений сопротивления реостата, описанных в условии:
\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} \hfill \\
{P_2} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Так как сказано, что мощности \(P_1\) и \(P_2\) равны, то:
\[\frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}\]
\[\frac{{{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} = \frac{{{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}\]
Чтобы решить это уравнение, перемножим «крест-накрест»:
\[{R_1}{\left( {{R_2} + r} \right)^2} = {R_2}{\left( {{R_1} + r} \right)^2}\]
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
\[{R_1}R_2^2 + 2{R_1}{R_2}r + {R_1}{r^2} = {R_2}R_1^2 + 2{R_1}{R_2}r + {R_2}{r^2}\]
\[{R_1}R_2^2 + {R_1}{r^2} = {R_2}R_1^2 + {R_2}{r^2}\]
\[{R_1}R_2^2 — {R_2}R_1^2 = {R_2}{r^2} — {R_1}{r^2}\]
\[{R_1}{R_2}\left( {{R_2} — {R_1}} \right) = {r^2}\left( {{R_2} — {R_1}} \right)\]
\[{r^2} = {R_1}{R_2}\]
\[r = \sqrt {{R_1}{R_2}} \;\;\;\;(3)\]
Отлично, мы нашли внутреннее сопротивление \(r\) источника тока, теперь, чтобы найти ЭДС источника \(\rm E\), нужно выразить ЭДС из любой формулы (мы выразим из первой), приведенной в системе:
\[{\rm E} = \sqrt {\frac{{{P_1}{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}}{{{R_1}}}} \]
\[{\rm E} = \left( {{R_1} + r} \right)\sqrt {\frac{{{P_1}}}{{{R_1}}}} \]
Учитывая (3), окончательно получим:
\[{\rm E} = \left( {{R_1} + \sqrt {{R_1}{R_2}} } \right)\sqrt {\frac{{{P_1}}}{{{R_1}}}} \]
Подставим численные данные задачи в формулу и посчитаем ответ:
\[{\rm E} = \left( {4 + \sqrt {4 \cdot 9} } \right)\sqrt {\frac{{25}}{4}} = 25\;В\]
Ответ: 25 В.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
7.4.41 Три лампочки мощностью P01=50 Вт и P02=25 Вт и P03=50 Вт, рассчитанные на напряжение
7.4.43 Определить ЭДС аккумулятора, если при нагрузке в 5 А он отдает во внешнюю цепь 10 Вт
7.4.44 На резисторе внешней цепи аккумулятора выделяется тепловая мощность 10 Вт
![](/mark_r_img.png)