При замыкании на сопротивление 5 Ом батарея элементов дает ток 1 А

Условие задачи:

При замыкании на сопротивление 5 Ом батарея элементов дает ток 1 А. Ток короткого замыкания батареи равен 6 А. Какую наибольшую полезную мощность может дать батарея?

Задача №7.4.49 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=5\) Ом, \(I=1\) А, \(I_{кз}=6\) А, \(P_{max}-?\)

Решение задачи:

Будем решать задачу с конца, поэтому определим, при каких условиях полезная мощность будет максимальной. Мощность во внешней цепи \(P\) можно найти по формуле:

\[P = UI\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(U\) – напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:

\[U = {\rm E} – Ir\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[P = \left( {{\rm E} – Ir} \right)I\]

Рассмотрим функцию \(P\left( I \right)\), то есть зависимость мощности от силы тока:

\[P\left( I \right) = \left( {{\rm E} – Ir} \right)I\]

Раскроем скобки, тогда:

\[P\left( I \right) = {\rm E}I – {I^2}r\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока \(I_{max}\), равной:

\[{I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}\;\;\;\;(4)\]

Если подставить \(I_{max}\) в (3), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи \(P_{max}\):

\[{P_{max}} = {\text{E}}{I_{max}} – I_{max}^2r\]

Учитывая (4), имеем:

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{2r}} – \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]

Домножим и числитель, и знаменатель этой формулы на \(r\), далее Вы поймете, для чего мы это делаем:

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}r}}{{4{r^2}}}\;\;\;\;(5)\]

Ток короткого замыкания \(I_{кз}\) легко определить по формуле:

\[{I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r}\;\;\;\;(6)\]

Откуда:

\[{\rm E} = {I_{кз}}r\;\;\;\;(7)\]

Учитывая (6), формулу (5) можно записать в таком виде:

\[{P_{max}} = \frac{{I_{кз}^2r}}{4}\;\;\;\;(8)\]

Также запишем закон Ома для полной цепи (когда внешнее сопротивление равно \(R\), а ток в цепи равен \(I\)):

\[I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\]

Подставим в эту формулу выражение (7):

\[I = \frac{{{I_{кз}}r}}{{R + r}}\]

Решим это уравнение:

\[IR + Ir = {I_{кз}}r\]

\[r\left( {{I_{кз}} – I} \right) = IR\]

\[r = \frac{{IR}}{{{I_{кз}} – I}}\]

Остается полученное выражение подставить в формулу (8):

\[{P_{max}} = \frac{{I_{кз}^2IR}}{{4\left( {{I_{кз}} – I} \right)}}\]

Задача решена в общем виде, подставим численные данные задачи в формулу и посчитаем ответ:

\[{P_{max}} = \frac{{{6^2} \cdot 1 \cdot 5}}{{4 \cdot \left( {6 – 1} \right)}} = 9\;Вт\]

Ответ: 9 Вт.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.4.48 Источник тока с ЭДС 5 В замыкается один раз на сопротивление 4 Ом, а другой раз – на 9 Ом
7.4.50 Определите КПД электропаяльника сопротивлением 25 Ом, если медная часть его массой
7.4.51 Найти ток короткого замыкания в цепи генератора с ЭДС 70 В, если при увеличении

Пожалуйста, поставьте оценку
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: