Решение: Три проводника сопротивлением 2, 3 и 6 Ом соединены параллельно. Найти наибольший ток

Условие задачи:

Три проводника сопротивлением 2, 3 и 6 Ом соединены параллельно. Найти наибольший ток в проводниках, если в неразветвленной части цепи ток равен 12 А.

Задача №7.5.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_1=2\) Ом, \(R_2=3\) Ом, \(R_3=6\) Ом, \(I=12\) А, \(I_{\max}-?\)

Решение задачи:

Для начала определим, через какой проводник будет течь наибольший ток \(I_{max}\). Запишем закон Ома для участка цепи:

\[I = \frac{U}{R}\]

Из неё видно, что поскольку все проводники находятся под одним и тем же напряжением, так как все они соединены параллельно, то наибольший ток будет течь через проводник с наименьшим сопротивлением, т.е. через первый проводник с сопротивлением \(R_1\).

Поэтому:

\[{I_{\max }} = {I_1} = \frac{U}{{{R_1}}}\;\;\;\;(1)\]

Напряжение сети \(U\) найдем по следующей формуле:

\[U = IR\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(R\) — общее (эквивалентное) сопротивление трёх параллельно соединенных проводников. Поэтому, если подставить выражение (2) в формулу (1), получим:

\[{I_{\max }} = I\frac{R}{{{R_1}}}\;\;\;\;(3)\]

Общее (эквивалентное) сопротивление \(R\) трёх соединенных параллельно проводников сопротивлением \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\) определяют по следующей формуле:

\[\frac{1}{R} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}}\]

Приведем в правой части под общий знаменатель:

\[\frac{1}{R} = \frac{{{R_2}{R_3} + {R_1}{R_3} + {R_1}{R_2}}}{{{R_1}{R_2}{R_3}}}\]

Откуда получим такую формулу для нахождения общего сопротивления \(R\):

\[R = \frac{{{R_1}{R_2}{R_3}}}{{{R_1}{R_2} + {R_2}{R_3} + {R_1}{R_3}}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (3):

\[{I_{\max }} = \frac{{I{R_2}{R_3}}}{{{R_1}{R_2} + {R_2}{R_3} + {R_1}{R_3}}}\]

Отлично, задача решена в общем виде, теперь посчитаем ответ:

\[{I_{\max }} = \frac{{12 \cdot 3 \cdot 6}}{{2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 2 \cdot 6}} = 6\;А\]