Условие задачи:

В сеть с напряжением 24 В включены два последовательно соединенных резистора. При этом сила тока 0,6 А. Когда резисторы подключили параллельно, сила тока стала 3,2 А. Определить большее из двух сопротивлений.

Задача №7.2.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U=24\) В, \(I_1=0,6\) А, \(I_2=3,2\) А, \(R_A-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Эквивалентное сопротивление двух последовательно соединенных резисторов \(R_1\) в первом случае и двух параллельно соединенных резисторов \(R_2\) во втором случае равно:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = {R_A} + {R_B} \hfill \\
{R_2} = \frac{{{R_A} \cdot {R_B}}}{{{R_A} + {R_B}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Запишем закон Ома для первого и второго случая:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{U}{{{R_1}}} \hfill \\
{I_2} = \frac{U}{{{R_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая первую систему, имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{U}{{{R_A} + {R_B}}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{U\left( {{R_A} + {R_B}} \right)}}{{{R_A} \cdot {R_B}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
U = {I_1}\left( {{R_A} + {R_B}} \right) \hfill \;\;\;\;(1)\\
U = {I_2}\frac{{{R_A} \cdot {R_B}}}{{{R_A} + {R_B}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда имеем такое равенство:

\[{I_1}\left( {{R_A} + {R_B}} \right) = {I_2}\frac{{{R_A} \cdot {R_B}}}{{{R_A} + {R_B}}}\]

\[{I_1}{\left( {{R_A} + {R_B}} \right)^2} = {I_2}{R_A}{R_B}\]

В левой части раскроем квадрат суммы и правую часть перенесем в левую:

\[{I_1}R_A^2 + 2{I_1}{R_A}{R_B} + {I_1}R_B^2 — {I_2}{R_A}{R_B} = 0\]

\[{I_1}R_A^2 + \left( {2{I_1} — {I_2}} \right){R_A}{R_B} + {I_1}R_B^2 = 0\]

Разделим обе части на \(R_B^2\), тогда:

\[{I_1}{\left( {\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}}} \right)^2} + \left( {2{I_1} — {I_2}} \right)\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} + {I_1} = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно \(\frac{R_A}{R_B}\) (учтите, раз мы приняли, что большим сопротивлением обладает резистор A, то это отношение должно быть больше 1).

Посчитаем дискриминант:

\[D = {\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)^2} — 4I_1^2\]

\[\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{{I_2} — 2{I_1} \pm \sqrt {{{\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)}^2} — 4I_1^2} }}{{2{I_1}}}\]

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{{I_2} — 2{I_1} + \sqrt {{{\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)}^2} — 4I_1^2} }}{{2{I_1}}} \hfill \\
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{{I_2} — 2{I_1} — \sqrt {{{\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)}^2} — 4I_1^2} }}{{2{I_1}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Посчитаем численные значения:

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{3,2 — 2 \cdot 0,6 + \sqrt {{{\left( {2 \cdot 0,6 — 3,2} \right)}^2} — 4 \cdot {{0,6}^2}} }}{{2 \cdot 0,6}} \hfill \\
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{3,2 — 2 \cdot 0,6 — \sqrt {{{\left( {2 \cdot 0,6 — 3,2} \right)}^2} — 4 \cdot {{0,6}^2}} }}{{2 \cdot 0,6}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = 3 \hfill \\
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Как было уже сказано выше, должно выполняться условие \(\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} > 1\), поэтому второй корень нам не подходит. Значит:

\[\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = 3\]

Чтобы найти сопротивление \(R_A\), воспользуемся (1):

\[U = {I_1}\left( {{R_A} + {R_B}} \right)\]

Так как мы получили, что \({R_B} = \frac{{{R_A}}}{3}\), то:

\[U = {I_1}\left( {{R_A} + \frac{{{R_A}}}{3}} \right)\]

\[U = \frac{{4{I_1}{R_A}}}{3}\]

Откуда:

\[{R_A} = \frac{{3U}}{{4{I_1}}}\]

Посчитаем ответ:

\[{R_A} = \frac{{3 \cdot 24}}{{4 \cdot 0,6}} = 30\;Ом = 0,03\;кОм\]

Ответ: 0,03 кОм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.2.21 Батарея гальванических элементов с ЭДС 15 В и внутренним сопротивлением 5 Ом замкнута
7.2.23 Щелочной аккумулятор создает силу тока 0,8 А, если его замкнуть на сопротивление 1,5 Ом
7.2.24 Какова ЭДС источника, если при измерении напряжения на его зажимах вольтметром

Пожалуйста, поставьте оценку
( 4 оценки, среднее 4 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: