Решение: В сеть с напряжением 24 В включены два последовательно соединенных резистора. При этом

Условие задачи:

В сеть с напряжением 24 В включены два последовательно соединенных резистора. При этом сила тока 0,6 А. Когда резисторы подключили параллельно, сила тока стала 3,2 А. Определить большее из двух сопротивлений.

Задача №7.2.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U=24\) В, \(I_1=0,6\) А, \(I_2=3,2\) А, \(R_A-?\)

Решение задачи:

Эквивалентное сопротивление двух последовательно соединенных резисторов \(R_1\) в первом случае и двух параллельно соединенных резисторов \(R_2\) во втором случае равно:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = {R_A} + {R_B} \hfill \\
{R_2} = \frac{{{R_A} \cdot {R_B}}}{{{R_A} + {R_B}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Запишем закон Ома для первого и второго случая:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{U}{{{R_1}}} \hfill \\
{I_2} = \frac{U}{{{R_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая первую систему, имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{U}{{{R_A} + {R_B}}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{U\left( {{R_A} + {R_B}} \right)}}{{{R_A} \cdot {R_B}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
U = {I_1}\left( {{R_A} + {R_B}} \right) \hfill \;\;\;\;(1)\\
U = {I_2}\frac{{{R_A} \cdot {R_B}}}{{{R_A} + {R_B}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда имеем такое равенство:

\[{I_1}\left( {{R_A} + {R_B}} \right) = {I_2}\frac{{{R_A} \cdot {R_B}}}{{{R_A} + {R_B}}}\]

\[{I_1}{\left( {{R_A} + {R_B}} \right)^2} = {I_2}{R_A}{R_B}\]

В левой части раскроем квадрат суммы и правую часть перенесем в левую:

\[{I_1}R_A^2 + 2{I_1}{R_A}{R_B} + {I_1}R_B^2 — {I_2}{R_A}{R_B} = 0\]

\[{I_1}R_A^2 + \left( {2{I_1} — {I_2}} \right){R_A}{R_B} + {I_1}R_B^2 = 0\]

Разделим обе части на \(R_B^2\), тогда:

\[{I_1}{\left( {\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}}} \right)^2} + \left( {2{I_1} — {I_2}} \right)\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} + {I_1} = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно \(\frac{R_A}{R_B}\) (учтите, раз мы приняли, что большим сопротивлением обладает резистор A, то это отношение должно быть больше 1).

Посчитаем дискриминант:

\[D = {\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)^2} — 4I_1^2\]

\[\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{{I_2} — 2{I_1} \pm \sqrt {{{\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)}^2} — 4I_1^2} }}{{2{I_1}}}\]

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{{I_2} — 2{I_1} + \sqrt {{{\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)}^2} — 4I_1^2} }}{{2{I_1}}} \hfill \\
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{{I_2} — 2{I_1} — \sqrt {{{\left( {2{I_1} — {I_2}} \right)}^2} — 4I_1^2} }}{{2{I_1}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Посчитаем численные значения:

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{3,2 — 2 \cdot 0,6 + \sqrt {{{\left( {2 \cdot 0,6 — 3,2} \right)}^2} — 4 \cdot {{0,6}^2}} }}{{2 \cdot 0,6}} \hfill \\
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{{3,2 — 2 \cdot 0,6 — \sqrt {{{\left( {2 \cdot 0,6 — 3,2} \right)}^2} — 4 \cdot {{0,6}^2}} }}{{2 \cdot 0,6}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = 3 \hfill \\
\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Как было уже сказано выше, должно выполняться условие \(\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} > 1\), поэтому второй корень нам не подходит. Значит:

\[\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}} = 3\]

Чтобы найти сопротивление \(R_A\), воспользуемся (1):

\[U = {I_1}\left( {{R_A} + {R_B}} \right)\]

Так как мы получили, что \({R_B} = \frac{{{R_A}}}{3}\), то:

\[U = {I_1}\left( {{R_A} + \frac{{{R_A}}}{3}} \right)\]

\[U = \frac{{4{I_1}{R_A}}}{3}\]

Откуда:

\[{R_A} = \frac{{3U}}{{4{I_1}}}\]

Посчитаем ответ:

\[{R_A} = \frac{{3 \cdot 24}}{{4 \cdot 0,6}} = 30\;Ом = 0,03\;кОм\]