Решение: В цепь, состоящую из источника ЭДС и сопротивления 2 Ом, включают амперметр сначала

Условие задачи:

В цепь, состоящую из источника ЭДС и сопротивления 2 Ом, включают амперметр сначала последовательно, а затем параллельно сопротивлению. При этом показания амперметра оказываются одинаковыми. Сопротивление амперметра 1 Ом. Определите внутреннее сопротивление источника.

Задача №7.5.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_{сопр}=2\) Ом, \(I_1=I_{22}\), \(R_А=1\) Ом, \(r-?\)

Решение задачи:

Схемы, для указанных в условии задачи двух случаев, показаны на рисунке. Сначала найдем эквивалентные сопротивления внешней цепи для этих случаев по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = {R_{сопр}} + {R_А} \hfill \\
{R_2} = \frac{{{R_{сопр}} \cdot {R_А}}}{{{R_{сопр}} + {R_А}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Не будем решать эту задачу в общем виде, поэтому сразу посчитаем значения сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = 2 + 1 = 3 \;Ом\hfill \\
{R_2} = \frac{{2 \cdot 1}}{{2 + 1}} = \frac{2}{3} \;Ом\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Также дважды запишем закон Ома для внешней цепи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{{R_1} + r}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{{R_2} + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Во втором случае сопротивление и амперметр соединены параллельно, а это значит, что они находятся под одинаковым напряжением, поэтому справедливо равенство:

\[{I_{21}}{R_{сопр}} = {I_{22}}{R_А}\]

Откуда ток через сопротивление \(I_{21}\) во втором случае равен:

\[{I_{21}} = {I_{22}}\frac{{{R_А}}}{{{R_{сопр}}}}\]

Учитывая, что \(R_{сопр}=2\) Ом, а \(R_А=1\) Ом, имеем:

\[{I_{21}} =\frac{I_{22}}{2}\;\;\;\;(1)\]

Очевидно, что \(I_2\) равен сумме токов \(I_{21}\) и \(I_{22}\):

\[{I_2} = {I_{21}} + {I_{22}}\]

Принимая во внимание (1), получим:

\[{I_2} = \frac{{3{I_{22}}}}{2} \Rightarrow {I_{22}} = \frac{{2{I_2}}}{3}\]

Имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{{R_1} + r}} \hfill \\
{I_{22}} = \frac{{2{\rm E}}}{{3\left( {{R_2} + r} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

По условию \(I_1=I_{22}\), поэтому:

\[\frac{{\rm E}}{{{R_1} + r}} = \frac{{2{\rm E}}}{{3\left( {{R_2} + r} \right)}}\]

\[\frac{1}{{{R_1} + r}} = \frac{2}{{3\left( {{R_2} + r} \right)}}\]

\[2{R_1} + 2r = 3{R_2} + 3r\]

\[r = 2{R_1} — 3{R_2}\]

Численный ответ к этой задаче равен:

\[r = 2 \cdot 3 — 3 \cdot \frac{2}{3} = 4\;Ом\]