Решение: Вольтметр, подключенный к источнику с ЭДС 12 В, показывает напряжение 9 В. К его клеммам

Условие задачи:

Вольтметр, подключенный к источнику с ЭДС 12 В, показывает напряжение 9 В. К его клеммам подключают еще один такой же вольтметр. Каковы его показания?

Задача №7.5.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rm E=12\) В, \(U_1=9\) В, \(U_2-?\)

Решение задачи:

Эквивалентное сопротивление внешней цепи во втором случае будет равно \(0,5R_v\), как эквивалентное сопротивление двух одинаковых параллельно соединенных сопротивлений \(R_v\). Используем этот факт в ходе дальнейших рассуждений.

Для нахождения общего тока в цепи \(I_1\) и \(I_2\) в обоих случаях (см. рисунки 1 и 2) используем закон Ома для полной цепи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{{R_v} + r}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{0,5{R_v} + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Понятно, что во втором случае через каждый из вольтметров течёт ток \(I_{02}\), равный \(0,5I_2\), то есть:

\[{I_{02}} = \frac{{0,5{\rm E}}}{{0,5{R_v} + r}}\]

Напряжение на вольтметрах \(U_1\) и \(U_2\) можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = {I_1}{R_v} \hfill \\
{U_2} = {I_{02}}{R_v} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая вышенаписанное, имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = \frac{{{\rm E}{R_v}}}{{{R_v} + r}} \hfill \\
{U_2} = \frac{{0,5{\rm E}{R_v}}}{{0,5{R_v} + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим и числитель, и знаменатель дробей в правых частях уравнений на \(R_v\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = \frac{{\rm E}}{{1 + \frac{r}{{{R_v}}}}} \hfill \\
{U_2} = \frac{{0,5{\rm E}}}{{0,5 + \frac{r}{{{R_v}}}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего уравнения выразим отношение \(\frac{r}{R_v}\):

\[1 + \frac{r}{{{R_v}}} = \frac{{\rm E}}{{{U_1}}}\]

\[\frac{r}{{{R_v}}} = \frac{{\rm E}}{{{U_1}}} — 1\]

Полученное выражение подставим в нижнее уравнение:

\[{U_2} = \frac{{0,5{\rm E}}}{{0,5 + \frac{{\rm E}}{{{U_1}}} — 1}}\]

\[{U_2} = \frac{{0,5{\rm E}}}{{\frac{{\rm E}}{{{U_1}}} — 0,5}}\]

Домножим и числитель, и знаменатель на \(U_1\):

\[{U_2} = \frac{{0,5{\rm E}{U_1}}}{{{\rm E} — 0,5{U_1}}}\]

Задача решена, посчитаем численный ответ:

\[{U_2} = \frac{{0,5 \cdot 12 \cdot 9}}{{12 — 0,5 \cdot 9}} = 7,2\;В\]