Решение: Потенциал заряженного металлического шара 45 В. Какой минимальной скоростью

Условие задачи:

Потенциал заряженного металлического шара 45 В. Какой минимальной скоростью должен обладать электрон, чтобы улететь с поверхности шара на бесконечно далёкое расстояние?

Задача №6.3.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varphi=45\) В, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Система «заряженный металлический шар — электрон» является замкнутой, то есть на неё не действуют никакие внешние силы. Запишем закон сохранения энергии для системы до (то есть когда электрон находится на поверхности шара) и после (когда электрон уже будет находиться на бесконечно большом расстоянии от шара).

\[{W_{п0}} + {W_{к0}} = {W_п} + {W_к}\]

Здесь \(W_{п0}\) — начальная потенциальная энергия взаимодействия заряженного металлического шара и электрона, \(W_{к0}\) — начальная кинетическая энергия электрона, \(W_{п}\) — конечная потенциальная энергия взаимодействия, \(W_{к}\) — кинетическая энергия электрона на бесконечно большом расстоянии от шара. Первые две указанные величины можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_{п0}} = — \varphi e \hfill \\
{W_{к0}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В этих формулах \(e\) — модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл, \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Понятно, что \(W_{п}\) будет равна нулю, поскольку энергия взаимодействия обратно пропорциональна расстоянию. Кинетическая энергия \(W_{к}\) равна нулю из-за условия минимальности скорости электрона \(\upsilon\). Учитывая всё написанное, а также вышеуказанную систему, имеем:

\[ — \varphi e + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = 0\]

\[\varphi e = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2\varphi e}}{{{m_e}}}} \]

Посчитаем численный ответ:

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2 \cdot 45 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}}}}} \approx 4 \cdot {10^6}\;м/с\]