Решение: Предмет и его прямое изображение, создаваемое тонкой собирающей линзой

Условие задачи:

Предмет и его прямое изображение, создаваемое тонкой собирающей линзой, расположены симметрично относительно фокуса линзы. Расстояние от предмета до фокуса линзы 4 см. Вычислите фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=4\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

В условии дана подсказка для решения задачи — линза собирающая и даёт прямое изображение, то есть \({d} < {F}\). Вообще, предмет и его изображение могут быть симметричны относительно фокуса линзы только при выполнении этого условию.

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} — \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ней «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «-«, поскольку изображение — мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из рисунка хорошо видно, что:

\[\left\{ \begin{gathered}
d = F — a \hfill \\
f = F + a \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В таком случае уравнение (1) примет вид:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{{F — a}} — \frac{1}{{F + a}}\]

Приведем в правой части полученного уравнения под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{F + a — F + a}}{{\left( {F — a} \right)\left( {F + a} \right)}}\]

Тогда:

\[\frac{1}{F} = \frac{{2a}}{{{F^2} — {a^2}}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[{F^2} — {a^2} = 2aF\]

\[{F^2} — 2aF — {a^2} = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, посчитаем его дискриминант: