Условие задачи:

Предмет и его прямое изображение, создаваемое тонкой собирающей линзой, расположены симметрично относительно фокуса линзы. Расстояние от предмета до фокуса линзы 4 см. Вычислите фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=4\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи В условии дана подсказка для решения задачи — линза собирающая и даёт прямое изображение, то есть \({d} < {F}\). Вообще, предмет и его изображение могут быть симметричны относительно фокуса линзы только при выполнении этого условию.

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} — \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ней «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «-«, поскольку изображение — мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из рисунка хорошо видно, что:

\[\left\{ \begin{gathered}
d = F — a \hfill \\
f = F + a \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В таком случае уравнение (1) примет вид:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{{F — a}} — \frac{1}{{F + a}}\]

Приведем в правой части полученного уравнения под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{F + a — F + a}}{{\left( {F — a} \right)\left( {F + a} \right)}}\]

Тогда:

\[\frac{1}{F} = \frac{{2a}}{{{F^2} — {a^2}}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[{F^2} — {a^2} = 2aF\]

\[{F^2} — 2aF — {a^2} = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, посчитаем его дискриминант:

\[{D_{диск}} = 4{a^2} + 4{a^2} = 8{a^2}\]

Тогда:

\[F = \frac{{2a \pm \sqrt {8{a^2}} }}{2}\]

\[F = a \pm \sqrt 2 a\]

\[F = a\left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)\]

Понятно, что фокусное расстояние не может быть отрицательным, поэтому отбрасываем корень с «минусом»:

\[F = a\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\]

Численный ответ этой задачи равен (не забываем переводить численные значения в систему СИ):

\[F = 0,04 \cdot \left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0,0966\;м = 9,66\;см\]

Ответ: 9,66 см.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.5.19 Каково главное фокусное расстояние линзы, если для получения изображения
10.5.21 Расстояние от предмета до экрана 5 м. Какой оптической силы надо взять линзу
10.5.22 Линза дает действительное изображение предмета с увеличением 3. Какое увеличение

Пожалуйста, поставьте оценку
( 8 оценок, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: