Решение: При замыкании на сопротивление 5 Ом батарея элементов дает ток 1 А

Условие задачи:

При замыкании на сопротивление 5 Ом батарея элементов дает ток 1 А. Ток короткого замыкания батареи равен 6 А. Какую наибольшую полезную мощность может дать батарея?

Задача №7.4.49 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=5\) Ом, \(I=1\) А, \(I_{кз}=6\) А, \(P_{max}-?\)

Решение задачи:

Будем решать задачу с конца, поэтому определим, при каких условиях полезная мощность будет максимальной. Мощность во внешней цепи \(P\) можно найти по формуле:

\[P = UI\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(U\) — напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:

\[U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Рассмотрим функцию \(P\left( I \right)\), то есть зависимость мощности от силы тока:

\[P\left( I \right) = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Раскроем скобки, тогда:

\[P\left( I \right) = {\rm E}I — {I^2}r\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока \(I_{max}\), равной:

\[{I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}\;\;\;\;(4)\]

Если подставить \(I_{max}\) в (3), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи \(P_{max}\):

\[{P_{max}} = {\text{E}}{I_{max}} — I_{max}^2r\]

Учитывая (4), имеем:

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{2r}} — \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]

Домножим и числитель, и знаменатель этой формулы на \(r\), далее Вы поймете, для чего мы это делаем:

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}r}}{{4{r^2}}}\;\;\;\;(5)\]

Ток короткого замыкания \(I_{кз}\) легко определить по формуле:

\[{I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r}\;\;\;\;(6)\]

Откуда:

\[{\rm E} = {I_{кз}}r\;\;\;\;(7)\]