Решение: Проводник электроемкостью 10 пФ имеет заряд 600 нКл, а проводник электроемкостью

Условие задачи:

Проводник электроемкостью 10 пФ имеет заряд 600 нКл, а проводник электроемкостью 30 пФ имеет заряд -200 нКл. Найти потенциал проводников, если их соединить тонкой проволокой.

Задача №6.4.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_1=10\) пФ, \(q_1=600\) нКл, \(C_2=30\) пФ, \(q_2=-200\) нКл, \(\varphi-?\)

Решение задачи:

Всем известно, что если проводники соединить тонкой проволокой, то часть зарядов перетечет с одного проводника на другой и их потенциалы станут одинаковыми. Пусть \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — это потенциалы проводников после соединения их проволокой, тогда:

\[{\varphi _1} = {\varphi _2}\;\;\;\;(1)\]

Обозначим конечный заряд на первом проводнике как \(q_{11}\), а на втором — как \(q_{12}\), тогда равенство (1) можно записать в следующем виде:

\[\frac{{{q_{11}}}}{{{C_1}}} = \frac{{{q_{12}}}}{{{C_2}}}\]

Откуда можно получить такое выражение:

\[{q_{12}} = {q_{11}}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\;\;\;\;(2)\]

Мы понимаем, что суммарный заряд на двух проводниках будет оставаться постоянным (благодаря закону сохранения заряда), он лишь перераспределиться между ними при соединении проволокой, поэтому верно следующее равенство:

\[{q_1} + {q_2} = {q_{11}} + {q_{12}}\]

Подставим в правую часть этого равенства ранее полученное выражение (2), тогда:

\[{q_1} + {q_2} = {q_{11}} + {q_{11}}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\]

В правой части этого равенство приведем слагаемые под общий знаменатель:

\[{q_1} + {q_2} = {q_{11}}\frac{{{C_1} + {C_2}}}{{{C_1}}}\]

Откуда мы получим формулу для определения конечного заряда \(q_{11}\) первого проводника:

\[{q_{11}} = \frac{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right){C_1}}}{{{C_1} + {C_2}}}\;\;\;\;(3)\]

Было уже сказано, что потенциалы проводников будут одинаковы (смотри равенство (1)), поэтому достаточно найти потенциал хотя бы одного, например, первого, а это мы уже можем сделать по известной формуле:

\[{\varphi _1} = \frac{{{q_{11}}}}{{{C_1}}}\]

Подставим только сюда выражение (3) и получим решение этой задачи в общем виде:

\[{\varphi _1} = \frac{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right){C_1}}}{{\left( {{C_1} + {C_2}} \right){C_1}}}\]

\[{\varphi _1} = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{C_1} + {C_2}}}\]

Нам остается только посчитать численный ответ:

\[{\varphi _1} = \frac{{600 \cdot {{10}^{ — 9}} + \left( { — 200 \cdot {{10}^{ — 9}}} \right)}}{{10 \cdot {{10}^{ — 12}} + 30 \cdot {{10}^{ — 12}}}} = {10^4}\;В = 10\;кВ\]