Условие задачи:

Проводники, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы 40 и 60 В. Каким будет потенциал этих проводников, если их соединить проволокой?

Задача №6.4.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varphi_1=40\) В, \(\varphi_2=60\) В, \(\varphi-?\)

Решение задачи:

Мы не можем сразу сказать величину потенциалов проводников после соединения их проволокой, но точно можем утверждать, то они будут одинаковы. Пусть начальный заряд на каждом проводнике равен \(q\), электроемкости первого и второго проводника равны соответственно \(C_1\) и \(C_2\), тогда мы можем записать две такие формулы для определения потенциалов \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\varphi _1} = \frac{q}{{{C_1}}} \hfill \\
{\varphi _2} = \frac{q}{{{C_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из этих формул выразим электроемкости \(C_1\) и \(C_2\), они нам понадобятся в ходе дальнейшего решения:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{q}{{{\varphi _1}}} \hfill \\
{C_2} = \frac{q}{{{\varphi _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Допустим, что при соединении проводников на первый из них перетечет заряд \(\Delta q\), тогда очевидно, что на втором проводнике заряд станет меньше на такую же величину. Как мы уже сказали, потенциал проводников будет одинаковым, поэтому будет правильно записать:

\[\left\{ \begin{gathered}
\varphi = \frac{{q + \Delta q}}{{{C_1}}} \hfill \\
\varphi = \frac{{q — \Delta q}}{{{C_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

То есть имеет место равенство:

\[\frac{{q + \Delta q}}{{{C_1}}} = \frac{{q — \Delta q}}{{{C_2}}}\]

Подставим в это равенство ранее полученные выражения для электроемкостей:

\[\frac{{\left( {q + \Delta q} \right){\varphi _1}}}{q} = \frac{{\left( {q — \Delta q} \right){\varphi _2}}}{q}\]

\[\left( {1 + \frac{{\Delta q}}{q}} \right){\varphi _1} = \left( {1 — \frac{{\Delta q}}{q}} \right){\varphi _2}\]

Попробуем найти отношение \(\frac{\Delta q}{q}\), для чего раскроем скобки в обеих частях равенства:

\[{\varphi _1} + \frac{{\Delta q}}{q}{\varphi _1} = {\varphi _2} — \frac{{\Delta q}}{q}{\varphi _2}\]

Перенесем все члены с множителем \(\frac{\Delta q}{q}\) в одну сторону, а все остальные — в другую:

\[\frac{{\Delta q}}{q}{\varphi _1} + \frac{{\Delta q}}{q}{\varphi _2} = {\varphi _2} — {\varphi _1}\]

\[\frac{{\Delta q}}{q}\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = {\varphi _2} — {\varphi _1}\]

\[\frac{{\Delta q}}{q} = \frac{{{\varphi _2} — {\varphi _1}}}{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}\;\;\;(1)\]

Воспользуемся одной из формул для определения искомого потенциала \(\varphi\) из третьей системы:

\[\varphi = \frac{{q + \Delta q}}{{{C_1}}}\]

Запишем эту в формулу в следующем эквивалентном виде:

\[\varphi = \frac{q}{{{C_1}}}\left( {1 + \frac{{\Delta q}}{q}} \right)\]

Если Вы посмотрите на первую формулу самой первой системы, то поймете, что:

\[\varphi = {\varphi _1}\left( {1 + \frac{{\Delta q}}{q}} \right)\]

Также, учитывая формулу (1), имеем:

\[\varphi = {\varphi _1}\left( {1 + \frac{{{\varphi _2} — {\varphi _1}}}{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}} \right)\]

Сделаем некоторые математические преобразования (в скобках приведем под общий знаменатель):

\[\varphi = {\varphi _1}\left( {\frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2} + {\varphi _2} — {\varphi _1}}}{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}} \right)\]

Окончательно получим такую формулу:

\[\varphi = \frac{{2{\varphi _1}{\varphi _2}}}{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}\]

Произведем расчет числового ответа:

\[\varphi = \frac{{2 \cdot 40 \cdot 60}}{{40 + 60}} = 48\;В\]

Ответ: 48 В.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.4 Шар радиусом 0,3 м, заряженный до потенциала 1000 В, соединяют проводником
6.4.6 Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены до одинакового потенциала
6.4.7 Шар радиусом 15 см, заряженный до потенциала 300 В, соединяют проволокой