Решение: Проволока из нихрома изогнута в виде кольца радиусом 1 м. В центре кольца помещен

Условие задачи:

Проволока из нихрома изогнута в виде кольца радиусом 1 м. В центре кольца помещен источник тока с ЭДС 2 В и внутренним сопротивлением 1,5 Ом. Элемент соединен с точками C и D кольца по диаметру с помощью такой же нихромовой проволоки сечением 1 мм². Определить разность потенциалов между точками C и D.

Задача №7.2.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$r_{рад}=1$ м, $\rm E=2$ В, $r=1,5$ Ом, $S=1$ мм², $U-?$

Решение задачи:

Изображенную в условии задачи электрическую цепь представим в другом виде, смотрите схему, приведенную справа. Здесь $R_1$ — сопротивление проводника из нихрома, длиной $r_{рад}$ (т.е. двумя резисторами $R_1$ мы показали участки от источника до точек C и D), $R_2$ — сопротивление проводника из нихрома, длиной ${\pi}r_{рад}$ (т.е. двумя резисторами $R_2$ мы показали участки в виде дуг окружности от точки C до точки D).

Понятно, что численные значения сопротивлений $R_1$ и $R_2$ можно найти по таким известным формулам:

$\left\{ \begin{gathered} {R_1} = \rho \frac{{{r_{рад}}}}{S} \hfill \\ {R_2} = \rho \frac{{\pi {r_{рад}}}}{S} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

В этих формулах $\rho$ — удельное электрическое сопротивление нихрома, равное 1100 нОм·м.

Учитывая, что два проводника $R_2$ соединены параллельно, то разность потенциалов между точками C и D можно определить таким образом:

$U = I\frac{{{R_2}}}{2}\;\;\;\;(1)$

Силу тока $I$ в электрической цепи найдем, применив закон Ома для полной цепи:

$I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\;\;\;\;(2)$

Здесь $R$ — полное внешнее сопротивление электрической цепи, которое можно посчитать по такой формуле (поскольку два последовательно соединенных резистора $R_1$ соединены последовательно с двумя параллельно соединенными резисторами $R_2$ ):

$R = 2{R_1} + \frac{{{R_2}}}{2}$

$R = \frac{{4{R_1} + {R_2}}}{2}\;\;\;\;(3)$

Подставим (3) в (2):

$I = \frac{{\rm E}}{{\frac{{4{R_1} + {R_2}}}{2} + r}}$

$I = \frac{{2{\rm E}}}{{4{R_1} + {R_2} + 2r}}$

Это выражение подставим в (1), тогда:

$U = \frac{{{\rm E}{R_2}}}{{4{R_1} + {R_2} + 2r}}$

Осталось только использовать формулы для нахождения $R_1$ и $R_2$ , приведенные в системе:

$U = \frac{{{\rm E}\rho \frac{{\pi {r_{рад}}}}{S}}}{{4\rho \frac{{{r_{рад}}}}{S} + \rho \frac{{\pi {r_{рад}}}}{S} + 2r}}$

Домножим и числитель, и знаменатель на $S$ :

$U = \frac{{{\rm E}\rho \pi {r_{рад}}}}{{4\rho {r_{рад}} + \rho \pi {r_{рад}} + 2rS}}$

$U = \frac{{{\rm E}\rho \pi {r_{рад}}}}{{\rho {r_{рад}}\left( {4 + \pi } \right) + 2rS}}$

Задача решена в общем виде, теперь посчитаем ответ:

$U = \frac{{2 \cdot 1100 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot 3,14 \cdot 1}}{{1100 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot 1 \cdot \left( {4 + 3,14} \right) + 2 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 0,637\;В = 637\;мВ$