Решение: Рамка площадью 20 см2, имеющая 1000 витков, вращается с частотой 50 Гц

Условие задачи:

Рамка площадью 20 см², имеющая 1000 витков, вращается с частотой 50 Гц в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции. Какова максимальная ЭДС, индуцируемая в рамке?

Задача №8.4.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=20\) см², \(N=1000\), \(\nu=50\) Гц, \(B=0,1\) Тл, \(\rm E_{imax}-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если учесть, что рамка имеет \(N\) витков обмотки, при этом сама рамка вращается в поле с некоторой угловой скоростью \(\omega\), то формула (1) примет следующий вид:

\[\Phi = NBS\cos \omega t\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока (то есть первой производной функции изменения потока от времени):

\[{\rm E_i} = — \Phi ^\prime \left( t \right)\]

Тогда:

\[{{\rm E}_i} = — {\left( {NBS\cos \omega t} \right)^\prime }\]

\[{{\rm E}_i} = NBS\omega \sin \omega t\]

Очевидно, что ЭДС индукции достигнет своего максимального значения, когда синус будет равен единице, поэтому:

\[{{\rm E}_{imax }} = NBS\omega \]

Угловая скорость вращения \(\omega\) связана с частотой вращения \(\nu\) по такой формуле:

\[\omega = 2\pi \nu \]

В итоге, окончательно получим такую формулу:

\[{{\rm E}_{imax }} = 2\pi \nu NBS\]

Посчитаем численный ответ:

\[{{\rm E}_{imax }} = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 1000 \cdot 0,1 \cdot 20 \cdot {10^{ — 4}} = 62,8\;В\]