Решение: Расстояние между лампой и экраном 3,2 м. Фокусное расстояние линзы 0,6 м. Определить

Условие задачи:

Расстояние между лампой и экраном 3,2 м. Фокусное расстояние линзы 0,6 м. Определить, на каком расстоянии от лампы надо поместить линзу, чтобы получить четкое действительное изображение лампы на экране, увеличенное в 3 раза.

Задача №10.5.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(z=3,2\) м, \(F=0,6\) м, \(\Gamma=3\), \(d-?\)

Решение задачи:

В задаче мы имеем дело с собирающей линзой, так как только с помощью такой линзы можно получить изображение на экране. При этом предмет должен находится левее переднего фокуса линзы, то есть \({d} > {F}\). Если в задаче пишут, что получено четкое изображение, значит это изображение получилось на экране (то есть точки A₁ и B₁ лежат на экране, смотрите рисунок).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Приведем уравнение под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{d + f}}{{df}}\;\;\;\;(1)\]

Из рисунка видно, данное в условии расстояние между лампой (предметом) и экраном \(z\) можно выразить следующим образом:

\[z = d + f\;\;\;\;(2)\]

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражение (2) в числитель правой части уравнения (1), а выражение (3) — в знаменатель правой части уравнения (1):

\[\frac{1}{F} = \frac{z}{{\Gamma {d^2}}}\]

Тогда, перемножив «крест-накрест», получим:

\[Fz = \Gamma {d^2}\]