Решение: Шарик для игры в настольный теннис радиусом 15 мм и массой 5 г погружен в воду

Условие задачи:

Шарик для игры в настольный теннис радиусом 15 мм и массой 5 г погружен в воду на глубину 30 см. Когда шарик отпустили, он выпрыгнул из воды на высоту 10 см. Какая энергия перешла при этом в тепловую вследствие трения шарика о воду?

Задача №3.3.50 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r=15\) мм, \(m=5\) г, \(h=30\) см, \(H=10\) см, \(Q-?\)

Решение задачи:

Выделившаяся вследствие трения шарика о воду теплота \(Q\) равна работе силы сопротивления воды, взятая с противоположным знаком, так как эта работа отрицательна.

\[Q = — {A_{сопр}}\;\;\;\;(1)\]

На шарик действуют две неконсервативные силы: сила Архимеда \(F_{А}\) и сила сопротивления воды \(F_{сопр}\). Суммарная работа этих сил равна изменению полной механической энергии шарика согласно закону сохранения энергии:

\[{A_{Арх}} + {A_{сопр}} = \Delta E\]

Учитывая (1), получим:

\[{A_{Арх}} — Q = \Delta E\]

\[Q = {A_{Арх}} — \Delta E\;\;\;\;(2)\]

В точках 1 и 2 шарик не имеет скорости, значит изменение полной механической энергии \(\Delta E\) равно изменению потенциальной энергии. Выберем уровень отсчета потенциальной энергии на уровне точки 1, тогда:

\[\Delta E = mg\left( {H + h} \right)\;\;\;\;(3)\]

Работа силы Архимеда положительна, и если пренебречь участком выхода шарика из воды, когда сила Архимеда переменна, то её можно найти по формуле:

\[{A_{Арх}} = {F_А} \cdot h\]

Распишем силу Архимеда по известной формуле её определения, также учтем, что объем шарика равен \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\):

\[{F_А} = {\rho _в}gV = \frac{4}{3}{\rho _в}g\pi {r^3}\]

\[{A_{Арх}} = \frac{4}{3}{\rho _в}g\pi {r^3}h\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражения (3) и (4) в (2), тогда получим окончательную формулу:

\[Q = \frac{4}{3}{\rho _в}g\pi {r^3}h — mg\left( {H + h} \right)\]

Переведем радиус шарика, его массу, а также глубину и высоту в систему СИ:

\[15\;мм = 0,015\;м\]

\[5\;г = 0,005\;кг\]

\[30\;см = 0,3\;м\]