Условие задачи:

Шарик массой 10 г с зарядом 100 мкКл подвешен на тонкой нити длиной 50 см в однородном электрическом поле напряженностью 100 В/м, силовые линии которого горизонтальны и направлены справа налево. Шарик отвели влево так, что он оказался на 40 см ниже точки подвеса нити, и отпустили. Найдите силу натяжения нити в момент прохождения шариком нижней точки траектории.

Задача №6.3.58 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$m=10$ г, $q=100$ мкКл, $l=50$ см, $E=100$ В/м, $\Delta h=40$ см, $T-?$

Решение задачи:

Будем решать эту задачу с конца. Для того, что найти силу натяжения нити $T$ в момент прохождения шариком нижней точки траектории, нужно записать для шарика в этом положении второй закон Ньютона в проекции на ось $y$ (смотрите схему справа):

$$T — mg = m{a_ц}\;\;\;\;(1)$$

Центростремительное ускорение $a_ц$ легко найти по формуле:

$${a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{l}\;\;\;\;(2)$$

Здесь $\upsilon$ — скорость шарика в нижней точке траектории, $l$ — длина нити, которая в данном случае равна радиусу кривизны траектории движения шарика. Подставим (2) в (1), тогда получим следующее:

$$T — mg = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{l}$$

$$T = mg + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{l}\;\;\;\;(3)$$

Теперь, чтобы найти скорость $\upsilon$, необходимо применить закон сохранения энергии. Работа электрического поля $A$ равна изменению полной механической энергии шарика. Если выбрать нуль потенциальной энергии на уровне нижней точки траектории шарика, то в конце он будет обладать только кинетической энергией, а в начале — потенциальной (несложно понять, что здесь шарик находится на высоте $\left(l — \Delta h\right)$ от нижней точки — смотрите схему слева). Справедливо записать:

$$A = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} — mg\left( {l — \Delta h} \right)\;\;\;\;(4)$$

Давайте теперь разберёмся с работой электрического поля $A$. Вообще, любая работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения, и если вспомнить математику, то это скалярное произведение можно записать как произведение модулей (т.е. абсолютных величин) указанных векторов на косинус угла между ними. То есть:

$$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow S = F \cdot S \cdot \cos \beta = — F \cdot S \cdot \cos \alpha$$

Здесь мы учли тот факт, что $\alpha + \beta = 90^\circ$ и поэтому $\cos \beta = — \cos \alpha$.

Произведение $S \cdot \cos \alpha$ равно $d$ — это прекрасно видно на схеме, поэтому:

$$A = — F \cdot d\;\;\;\;(5)$$

Длину отрезка $d$ можно найти из теоремы Пифагора:

$$d = \sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} \;\;\;\;(6)$$

Величину электрической силы $F$ найдём как произведение напряжённости поля $E$ на заряд шарика $q$:

$$F = Eq\;\;\;\;(7)$$

Подставим (6) и (7) в (5), тогда:

$$A = — Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}}$$

Полученное подставим в (4) и выразим $\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}$ — для чего, Вы узнаете позже:

$$— Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} — mg\left( {l — \Delta h} \right)$$

$$\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = mg\left( {l — \Delta h} \right) — Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} \;\;\;\;(8)$$

Выполним следующий трюк — запишем формулу (3) в следующем виде:

$$T = mg + \frac{{2m{\upsilon ^2}}}{{2l}}$$

$$T = mg + \frac{2}{l} \cdot \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}$$

В эту формулу подставим выражение (8), имеем:

$$T = mg + \frac{2}{l} \cdot \left( {mg\left( {l — \Delta h} \right) — Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} } \right)$$

Проведём некоторые преобразования, чтобы получить окончательную формулу:

$$T = \frac{{mgl}}{l} + \frac{{mg\left( {2l — 2\Delta h} \right)}}{l} — \frac{{2Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} }}{l}$$

$$T = \frac{{mg\left( {3l — 2\Delta h} \right)}}{l} — \frac{{2Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} }}{l}$$

Произведём расчёт численного ответа:

$$T = \frac{{0,01 \cdot 10 \cdot \left( {3 \cdot 0,5 — 2 \cdot 0,4} \right)}}{{0,5}} + \frac{{2 \cdot 100 \cdot 100 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot \sqrt {{{0,5}^2} — {{0,4}^2}} }}{{0,5}} = 0,128\;Н$$

Ответ: 0,128 Н.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.57 Заряды q1=2 мкКл и q2=5 мкКл расположены на расстоянии AB=40 см друг от друга
6.3.59 Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого
6.3.60 По тонкому проволочному кольцу радиуса 3 см равномерно распределен заряд 10^(-9) Кл