Условие задачи:

Шарик массой 10 г с зарядом 100 мкКл подвешен на тонкой нити длиной 50 см в однородном электрическом поле напряженностью 100 В/м, силовые линии которого горизонтальны и направлены справа налево. Шарик отвели влево так, что он оказался на 40 см ниже точки подвеса нити, и отпустили. Найдите силу натяжения нити в момент прохождения шариком нижней точки траектории.

Задача №6.3.58 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=10\) г, \(q=100\) мкКл, \(l=50\) см, \(E=100\) В/м, \(\Delta h=40\) см, \(T-?\)

Решение задачи:

Будем решать эту задачу с конца. Для того, что найти силу натяжения нити \(T\) в момент прохождения шариком нижней точки траектории, нужно записать для шарика в этом положении второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\) (смотрите схему справа):

\[T — mg = m{a_ц}\;\;\;\;(1)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) легко найти по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{l}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(\upsilon\) — скорость шарика в нижней точке траектории, \(l\) — длина нити, которая в данном случае равна радиусу кривизны траектории движения шарика. Подставим (2) в (1), тогда получим следующее:

\[T — mg = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{l}\]

\[T = mg + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{l}\;\;\;\;(3)\]

Теперь, чтобы найти скорость \(\upsilon\), необходимо применить закон сохранения энергии. Работа электрического поля \(A\) равна изменению полной механической энергии шарика. Если выбрать нуль потенциальной энергии на уровне нижней точки траектории шарика, то в конце он будет обладать только кинетической энергией, а в начале — потенциальной (несложно понять, что здесь шарик находится на высоте \(\left(l — \Delta h\right)\) от нижней точки — смотрите схему слева). Справедливо записать:

\[A = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} — mg\left( {l — \Delta h} \right)\;\;\;\;(4)\]

Давайте теперь разберёмся с работой электрического поля \(A\). Вообще, любая работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения, и если вспомнить математику, то это скалярное произведение можно записать как произведение модулей (т.е. абсолютных величин) указанных векторов на косинус угла между ними. То есть:

\[A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow S = F \cdot S \cdot \cos \beta = — F \cdot S \cdot \cos \alpha \]

Здесь мы учли тот факт, что \(\alpha + \beta = 90^\circ\) и поэтому \(\cos \beta = — \cos \alpha\).

Произведение \(S \cdot \cos \alpha\) равно \(d\) — это прекрасно видно на схеме, поэтому:

\[A = — F \cdot d\;\;\;\;(5)\]

Длину отрезка \(d\) можно найти из теоремы Пифагора:

\[d = \sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} \;\;\;\;(6)\]

Величину электрической силы \(F\) найдём как произведение напряжённости поля \(E\) на заряд шарика \(q\):

\[F = Eq\;\;\;\;(7)\]

Подставим (6) и (7) в (5), тогда:

\[A = — Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} \]

Полученное подставим в (4) и выразим \(\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\) — для чего, Вы узнаете позже:

\[ — Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} — mg\left( {l — \Delta h} \right)\]

\[\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = mg\left( {l — \Delta h} \right) — Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} \;\;\;\;(8)\]

Выполним следующий трюк — запишем формулу (3) в следующем виде:

\[T = mg + \frac{{2m{\upsilon ^2}}}{{2l}}\]

\[T = mg + \frac{2}{l} \cdot \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

В эту формулу подставим выражение (8), имеем:

\[T = mg + \frac{2}{l} \cdot \left( {mg\left( {l — \Delta h} \right) — Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} } \right)\]

Проведём некоторые преобразования, чтобы получить окончательную формулу:

\[T = \frac{{mgl}}{l} + \frac{{mg\left( {2l — 2\Delta h} \right)}}{l} — \frac{{2Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} }}{l}\]

\[T = \frac{{mg\left( {3l — 2\Delta h} \right)}}{l} — \frac{{2Eq\sqrt {{l^2} — \Delta {h^2}} }}{l}\]

Произведём расчёт численного ответа:

\[T = \frac{{0,01 \cdot 10 \cdot \left( {3 \cdot 0,5 — 2 \cdot 0,4} \right)}}{{0,5}} + \frac{{2 \cdot 100 \cdot 100 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot \sqrt {{{0,5}^2} — {{0,4}^2}} }}{{0,5}} = 0,128\;Н\]

Ответ: 0,128 Н.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.57 Заряды q1=2 мкКл и q2=5 мкКл расположены на расстоянии AB=40 см друг от друга
6.3.59 Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого
6.3.60 По тонкому проволочному кольцу радиуса 3 см равномерно распределен заряд 10^(-9) Кл