Решение: С какой высоты должно падать тело плотностью 400 кг/м3, чтобы оно погрузилось

Условие задачи:

С какой высоты должно падать тело плотностью 400 кг/м³, чтобы оно погрузилось в воду на глубину 6 см? Сопротивлением воды и воздуха пренебречь.

Задача №3.3.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rho=400\) кг/м³, \(h=6\) см, \(H-?\)

Решение задачи:

Тело, падая с высоты \(H\), перед входом в воду будет иметь некоторую скорость. В воде тело будет двигаться равнозамедленно, поскольку сила Архимеда больше силы тяжести (так как \(\rho < \rho_в\)). Из-за этого тело остановиться на глубине \(h\).

Когда тело будет двигаться в воде, то работу будет совершать сила Архимеда \(F_А\). При этом работа этой силы равна изменению полной механической энергии тела согласно закону сохранения энергии.

\[A = \Delta E\;\;\;\;(1)\]

Работа силы Архимеда \(F_А\) отрицательна, поскольку вектор этой силы противоположен вектору перемещения. Её можно найти по формуле:

\[A = – {F_А} \cdot h\;\;\;\;(2)\]

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне поверхности воды. Тогда полная механическая энергия в начале равна \(mgH\), а в конце – \(\left( -mgh \right)\) (так как в этих точках у тела нет скорости). Изменение полной механической энергии \(\Delta E\) равно:

\[\Delta E = – mgh – mgH = – mg\left( {H + h} \right)\;\;\;\;(3)\]

В равенство (1) подставим выражения (2) и (3):

\[ – {F_А} \cdot h = – mg\left( {H + h} \right)\]

\[{F_А} \cdot h = mg\left( {H + h} \right)\]

Распишем силу Архимеда \(F_А\) по формуле-определению и массу \(m\) как произведение плотности \(\rho\) на полный объем \(V\):

\[{\rho _в}gVh = \rho Vg\left( {H + h} \right)\]

\[{\rho _в}h = \rho \left( {H + h} \right)\]

Раскроем скобки в правой части, перенесем все множители с \(H\) в одну сторону и выразим \(H\).

\[{\rho _в}h = \rho H + \rho h\]

\[\rho H = \left( {{\rho _в} – \rho } \right)h\]

\[H = \left( {\frac{{{\rho _в}}}{\rho } – 1} \right)h\]

Переведем высоту \(h\) в систему СИ, далее подставим все данные в формулу и произведем вычисления: