Решение: Струя стоградусного водяного пара направляется на кусок льда массой 10 кг

Условие задачи:

Струя стоградусного водяного пара направляется на кусок льда массой 10 кг с температурой 0 °C. Какая установится температура после того, как лед растает, если масса израсходованного пара 2 кг?

Задача №5.2.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=10\) кг, \(t_1=0^\circ\) C, \(m_2=2\) кг, \(t-?\)

Решение задачи:

Определим количество теплоты \(Q_1\), необходимое для плавления льда массой \(m_1\), по известной формуле:

\[{Q_1} = \lambda {m_1}\]

Удельная теплота плавления льда \(\lambda\) равна 330 кДж/кг.

\[{Q_1} = 330 \cdot {10^3} \cdot 10 = 3300 \cdot {10^3}\;Дж = 3300\;кДж\]

Далее определим количество теплоты \(Q_2\), необходимое для нагревания воды массой \(m_1\), образовавшейся изо льда, от температуры плавления льда \(t_1\) до температуры кипения воды \(t_к\) (\(t_к=100^\circ\) C). Это можно сделать по формуле:

\[{Q_2} = c{m_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right)\]

Удельная теплоёмкость воды \(c\) равна 4200 Дж/(кг·°C).

\[{Q_2} = 4200 \cdot 10 \cdot \left( {100 — 0} \right) = 4200 \cdot {10^3}\;Дж = 4200\;кДж\]

И также определим количество теплоты \(Q_3\), выделяемое при конденсации пара массой \(m_2\), по формуле:

\[{Q_3} = L{m_2}\]

Удельная теплота конденсации пара \(L\) равна 2,26 МДж/кг.

\[{Q_3} = 2,26 \cdot {10^6} \cdot 2 = 4520 \cdot {10^3}\;Дж = 4520\;кДж\]

Давайте проанализируем полученные результаты. Так как \({Q_3} > {Q_1}\), значит весь лёд растает. Но так как \({Q_3} < {Q_1} + {Q_2}\), значит весь пар сконденсируется, а далее будет происходить теплообмен между водой, образовавшейся изо льда, и водой, образовавшейся из пара.

Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} + {Q_4} = {Q_3} + {Q_5}\]

В этом равенстве \(Q_4\) — количество теплоты, необходимое для нагревания воды массой \(m_1\) от температуры \(t_1\) до искомой температуры \(t\); \(Q_5\) — количество теплоты, выделяемое при охлаждении воды массой \(m_2\) от температуры \(t_к\) до искомой температуры \(t\).

Распишем указанные количества теплоты по формулам, тогда получим следующее равенство:

\[\lambda {m_1} + c{m_1}\left( {t — {t_1}} \right) = L{m_2} + c{m_2}\left( {{t_к} — t} \right)\]

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

\[\lambda {m_1} + c{m_1}t — c{m_1}{t_1} = L{m_2} + c{m_2}{t_к} — c{m_2}t\]

Перенесем в левую часть все члены с множителем \(t\), вынесем его за скобки, остальные член перенесем в правую часть.

\[ct\left( {{m_1} + {m_2}} \right) = L{m_2} — \lambda {m_1} + c{m_2}{t_к} + c{m_1}{t_1}\]

\[t = \frac{{L{m_2} — \lambda {m_1} + c{m_2}{t_к} + c{m_1}{t_1}}}{{c\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

\[t = \frac{{L{m_2} — \lambda {m_1} + c\left( {{m_2}{t_к} + {m_1}{t_1}} \right)}}{{c\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

Задача в общем виде решена.

Произведем расчет ответа:

\[t = \frac{{2,26 \cdot {{10}^6} \cdot 2 — 330 \cdot {{10}^3} \cdot 10 + 4200 \cdot \left( {2 \cdot 100 + 10 \cdot 0} \right)}}{{4200 \cdot \left( {10 + 2} \right)}} \approx 41^\circ\;C = 314\;К\]