Условие задачи:
Тело брошено с начальной скоростью 40 м/с под углом 30° к горизонту. Через какое минимальное время от начала движения тело поднялось на половину максимальной высоты?
Задача №1.6.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(v_0=40\) м/с, \(\alpha=30^\circ\), \(h = \frac{H}{2}\), \(t_1-?\)
Решение задачи:
Чтобы решить любую задачу, сперва необходимо сделать к ней рисунок. Так как в условии сказано, что необходимо найти время, когда тело поднялось на половину максимальной высоты, то давайте и найдем эту максимальную высоту.
Для этого запишем уравнения движения и уравнения скорости в проекции на обе оси.
\[\left\{ \begin{gathered}
ox:x = {v_0}\cos \alpha \cdot t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \\
oy:y = {v_0}\sin \alpha \cdot t — \frac{{g{t^2}}}{2}\,\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[\left\{ \begin{gathered}
ox:{v_x} = {v_0}\cos \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \hfill \\
oy:{v_y} = {v_0}\sin \alpha — gt\,\,(4) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
В наивысшей точке подъема вертикальная составляющая скорости равна нулю, поэтому из уравнения (4) найдем время подъема и, подставив его в уравнение (2), получим стандартную формулу для определения максимальной высоты подъема.
\[{v_y} = 0 \Rightarrow {v_0}\sin \alpha — gt = 0\]
\[t = \frac{{{v_0}\sin \alpha }}{g}\]
\[H = {v_0}\sin \alpha \cdot t — \frac{{g{t^2}}}{2}\]
\[H = {v_0}\sin \alpha \cdot \frac{{{v_0}\sin \alpha }}{g} — \frac{g}{2} \cdot \frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{{g^2}}}\]
\[H = \frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}\]
А теперь, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, воспользуемся второй раз уравнением (2), приняв \(y = \frac{H}{2}\).
\[\frac{H}{2} = {v_0}\sin \alpha \cdot t_1 — \frac{{g{t_1^2}}}{2}\]
Заменим \(H\) полученной ранее формулой.
\[\frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{4g}} = {v_0}\sin \alpha \cdot {t_1} — \frac{{gt_1^2}}{2}\]
Теперь осталось решить это квадратное уравнение относительно искомого \(t_1\).
\[2{g^2}t_1^2 — 4g{v_0}\sin \alpha \cdot {t_1} + v_0^2{\sin ^2}\alpha = 0\]
\[D = 16{g^2}v_0^2{\sin ^2}\alpha — 4 \cdot 2{g^2} \cdot v_0^2{\sin ^2}\alpha = 8{g^2}v_0^2{\sin ^2}\alpha \]
\[{t_1} = \frac{{4g{v_0}\sin \alpha \pm 2\sqrt 2 g{v_0}\sin \alpha }}{{4{g^2}}}\]
Поскольку необходимо найти минимальное время, то нас интересует корень со знаком «минус».
\[{t_1} = \left( {\frac{{2 — \sqrt 2 }}{2}} \right)\frac{{{v_0}\sin \alpha }}{g}\]
Подставим исходные данные, удостоверившись, что они приведены в системе СИ, и получим численный ответ.
\[{t_1} = \left( {\frac{{2 — \sqrt 2 }}{2}} \right)\frac{{40 \cdot \sin 30^\circ }}{{10}} = 0,59\; с.\]
Ответ: 0,59 с.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделитесь ею с друзьями с помощью этих кнопок.
Смотрите также задачи:
1.6.11 Тело бросили под углом 60 градусов к горизонту со скоростью 10 м/с
1.6.13 Бомбардировщик пикирует на цель под углом 60 градусов к горизонту
1.6.14 Игрок посылает мяч с высоты 1,2 м над землей так, что угол
здравствуйте! Подскажите пожалуйста, куда из 3 и 4 формулы делось время (t)?
В формуле (3) времени быть не должно, так как со временем проекция скорости на ось \(x\) не изменяется. В формуле (4) время присутствует.
Почему тут не подходит формула t=(v0*sinx/g)*1/2
Потому что движение вдоль оси oy не равномерное, а равнозамедленное!
Нельзя просто разделить время полета до верхней точки траектории пополам и получить ответ.