Условие задачи:

Тело массой 1 кг упруго ударяется о покоящееся тело массой 3 кг и летит обратно. Найти долю потерянной при этом первым телом кинетической энергии.

Задача №2.9.1 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1\) кг, \(M=3\) кг, \(\frac{E_2}{E_1}-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Так как тела ударяются упруго, то потерянная первым телом кинетическая энергия равна кинетической энергии второго тела после удара. Поэтому искомое отношение можно записать в таком виде:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{M{u^2} \cdot 2}}{{2 \cdot m{\upsilon_0 ^2}}} = \frac{{M{u^2}}}{{m{\upsilon_0 ^2}}} = \frac{M}{m}{\left( {\frac{u}{\upsilon_0 }} \right)^2} \;\;\;\;(1)\]

Теперь выполним классические для всех подобных задач действия: запишем закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\) и закон сохранения энергии.

\[\left\{ \begin{gathered}
m{\upsilon _0} = — m\upsilon + Mu \;\;\;\;(2)\hfill \\
\frac{{m\upsilon _0^2}}{2} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{{M{u^2}}}{2} \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Равенство (2) запишем в виде:

\[m\left( {{\upsilon _0} + \upsilon } \right) = Mu\;\;\;\;(4)\]

В равенстве (3) домножим обе части на 2, далее перенесем все члены с \(m\) в левую часть и вынесем \(m\) за скобки:

\[m\left( {\upsilon _0^2 — {\upsilon ^2}} \right) = M{u^2}\]

Распишем разность квадратов в левой части этого равенства:

\[m\left( {{\upsilon _0} + \upsilon } \right)\left( {{\upsilon _0} — \upsilon } \right) = M{u^2}\]

Используя (4), получим:

\[Mu\left( {{\upsilon _0} — \upsilon } \right) = M{u^2}\]

\[u = {\upsilon _0} — \upsilon \;\;\;\;(5)\]

Откуда имеем:

\[\upsilon = {\upsilon _0} — u\]

Подставим это выражение в равенство (2), тогда получим:

\[m{\upsilon _0} = — m\left( {{\upsilon _0} — u} \right) + Mu\]

\[m{\upsilon _0} = — m{\upsilon _0} + mu + Mu\]

\[2m{\upsilon _0} = u\left( {M + m} \right)\]

Окончательно получим:

\[u = \frac{{2m{\upsilon _0}}}{{m + M}}\]

В итоге формула (1) примет вид:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{M}{m}{\left( {\frac{{2m{\upsilon _0}}}{{{\upsilon _0}\left( {m + M} \right)}}} \right)^2} = \frac{M}{m}{\left( {\frac{{2m}}{{\left( {m + M} \right)}}} \right)^2}\]

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{4Mm}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}\]

Остается только посчитать ответ к этой задаче:

\[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 1}}{{{{\left( {1 + 3} \right)}^2}}} = 0,75\]

Ответ: 0,75.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.8.53 Шарик на нити отклонили от вертикали на 60 градусов и отпустили без начальной
2.9.2 Шарик массой 100 г упал с высоты 2,5 м на горизонтальную плиту, масса которой
2.9.3 Во сколько раз уменьшится энергия нейтрона n при столкновении с ядром углерода C

Пожалуйста, поставьте оценку
( 6 оценок, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 10
  1. Аноним

    I) поскольку уравнения написаны для материальных точек(!), то мы заранее не можем знать куда и что полетит…
    при этих условиях тело 1 может и «прошить» тело 2
    об этом говорят уравнения (2; 3), но(!!!) для общего случая необходимо(!!) во (2) уравнении писать +mv(!) а не -mv (поскольку коэффициент восстановления Ньютона k = 1)
    и решение нелинейной системы уравнений (прямая линия и эллипс) дает два решения…
    а дальше уж и выбирать, что и куда движется…
    II) все гораздо проще решить через понятие коэффициента восстановления Ньютона
    :smile:

    1. Easyfizika (автор)

      Не стоит так всё усложнять, тем более указанный Вами коэффициент не изучается в школьном курсе физике. Думаю самые пытливые читатели сайта увидят Ваш комментарий и разыщут в интернете указанную Вами информацию. Вам же спасибо за то, что Вы даёте пищу для размышления и поисков таким людям :smile:

      1. Аноним

        Жаль, что не изучается…
        Когда учился в школе, нам рассказывали про коэффициент восстановления Ньютона…
        Иначе не понять как слова «абсолютно упругий удар», «абсолютно не упругий удар» отобразить языком формул… можно, конечно, и через уравнение энергий как-то объяснить (что и делается…)
        Но возникает вопрос: зачем Ньютон ввел третье уравнение?

        Ньютон, по сути, вводя коэффициент восстановления, заменяет уравнение связанное с энергией и упрощает решение…
        т.е. заменяет систему нелинейных алгебраических уравнений, на систему линейных уравнений.

        Уравнение (5) следует непосредственно из определения коэффициента восстановления.

        1. Easyfizika (автор)

          Уравнение (5) можно получить и без коэффициента восстановления, если перейти в систему отсчета одного из тел. :smile:

      2. Аноним

        Зачем в решении задачи находить промежуточное значение v ?
        Можно уравнение (5) подставить в (2) и сразу поучить
        u = 2 m v0/(m+M)

        т.е. задача сокращается во много раз…

        :)

      3. Аноним

        только в (2) надо подставлять
        v = v0 — u
        которое следует из (5)

        1. Easyfizika (автор)

          Точно, решение я подправил, спасибо большое за Ваши ценные комментарии! :idea: :smile:

  2. Гордей

    Объясните, пожалуйста, на что следует опираться при решении данной задачи и ей подобных? Немного озадачивают все эти многочисленные разложения, когда мы сначала вывели одну формулу, затем подставляем её в (4) — выводим (5), затем (5) снова в (4), а потом снова в (5). Это просто логика или есть какие-то методы?

    1. Easyfizika (автор)

      После записи законов сохранения импульса и энергии физика заканчивается, и начинается математика. Вам, из ЗСИ и ЗСЭ (равенства (2) и (3)) нужно узнать соотношение скоростей, и проще всего это делать способом, описанным в этом решении. Попробуйте это сделать способом, отличным приведенному выше, замучаетесь.

      1. Аноним

        Я понял, спасибо большое за ответ

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: