Условие задачи:

Тело первую половину пути двигалось со скоростью 12 км/ч. После этого половину времени — со скоростью 7 км/ч, а другую половину времени — со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость на всем пути?

Задача №1.2.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S_1=\frac{1}{2}S\), \(\upsilon_1=12\) км/ч, \(\upsilon_2=7\) км/ч, \(\upsilon_3=5\) км/ч, \(t_2=t_3\), \(\upsilon_{ср}-?\)

Решение задачи:

Если прочитать условие задачи, то становится ясно, что тело прошло три разных участка с разными скоростями.

Начнем решать задачу с конца, то есть запишем формулу для определения средней скорости:

\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}}{{{t_1} + {t_2} + {t_3}}}\]

Весь путь обозначим буквой \(S\). Так как время \(t_2\) и \(t_3\) равны по условию, то запишем формулу немного проще.

\[{\upsilon _{ср}} = \frac{S}{{{t_1} + 2{t_2}}}\]

Первый отрезок пути \(S_1\) равен половине полного пути \(S\) и проходился телом со скоростью \(\upsilon_1\), поэтому время \(t_1\) определяется по такой простой формуле:

\[{t_1} = \frac{{{S_1}}}{{{\upsilon _1}}} = \frac{S}{{2{\upsilon _1}}}\]

Оставшиеся отрезки пути \(S_2\) и \(S_3\) в сумме также дают половину всего пути \(S\).

\[{S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}S\]

Справедливо записать эту формулу таким образом:

\[{\upsilon _2}{t_2} + {\upsilon _3}{t_3} = \frac{1}{2}S\]

Так как \(t_2=t_3\), то:

\[{\upsilon _2}{t_2} + {\upsilon _3}{t_2} = \frac{1}{2}S\]

\[{t_2}\left( {{\upsilon _2} + {\upsilon _3}} \right) = \frac{1}{2}S \Rightarrow {t_2} = \frac{S}{{2\left( {{\upsilon _2} + {\upsilon _3}} \right)}} \Rightarrow 2{t_2} = \frac{S}{{{\upsilon _2} + {\upsilon _3}}}\]

Подставим полученные выражения для \(t_1\) и \(2t_2\) в самую первую формулу.

\[{\upsilon _{ср}} = \frac{S}{{\frac{S}{{2{\upsilon _1}}} + \frac{S}{{{\upsilon _2} + {\upsilon _3}}}}} = \frac{S}{{\frac{{S\left( {2{\upsilon _1} + {\upsilon _2} + {\upsilon _3}} \right)}}{{2{\upsilon _1}\left( {{\upsilon _2} + {\upsilon _3}} \right)}}}} = \frac{{S \cdot 2{\upsilon _1}\left( {{\upsilon _2} + {\upsilon _3}} \right)}}{{S\left( {2{\upsilon _1} + {\upsilon _2} + {\upsilon _3}} \right)}} = \frac{{2{\upsilon _1}\left( {{\upsilon _2} + {\upsilon _3}} \right)}}{{2{\upsilon _1} + {\upsilon _2} + {\upsilon _3}}}\]

Остается самое простое действие в этой задаче — подсчитать ответ.

\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{2 \cdot 12\left( {7 + 5} \right)}}{{2 \cdot 12 + 7 + 5}} = 8\; км/ч = 2,22\; м/с\]

Ответ: 2,22 м/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

1.2.9 Катер прошел первую половину пути со скоростью в 2 раза большей, чем вторую
1.2.11 Первую половину пути велосипедист проехал со скоростью в 8 раз большей, чем
1.2.12 Мотоциклист за первые 5 минут проехал 3 км, за последующие 8 минут — 9,6 км и