Решение: Холодильник идеального теплового двигателя имеет температуру 27 C. Как изменится

Условие задачи:

Холодильник идеального теплового двигателя имеет температуру 27 °C. Как изменится КПД этого двигателя, если температуру нагревателя уменьшить от 327 до 127 °C?

Задача №5.5.57 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_х=27^\circ\) C, \(t_{н1}=327^\circ\) C, \(t_{н2}=127^\circ\) C, \(\frac{\eta_2}{\eta_1}-?\)

Решение задачи:

Если тепловой двигатель работает по циклу Карно, то он является идеальным и его КПД можно определять по формуле:

\[\eta = \frac{{{T_н} — {T_х}}}{{{T_н}}}\;\;\;\;(1)\]

Тогда начальный \(\eta_1\) и конечный \(\eta_2\) КПД теплового двигателя при изменении температуры нагревателя можно находить соответственно по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\eta _1} = \frac{{{T_{н1}} — {T_х}}}{{{T_{н1}}}} \hfill \\
{\eta _2} = \frac{{{T_{н2}} — {T_х}}}{{{T_{н2}}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда величину \(\frac{\eta_2}{\eta_1}\), которая показывает во сколько раз изменится КПД, будем находить так (начальный КПД делим на конечный, так как при уменьшении температуры нагревателя КПД падает):

\[\frac{{{\eta _1}}}{{{\eta _2}}} = \frac{{\left( {{T_{н1}} — {T_х}} \right){T_{н2}}}}{{\left( {{T_{н2}} — {T_х}} \right){T_{н1}}}}\]

В формуле (1) температуры нагревателя и холодильника фигурируют в Кельвинах (в абсолютной шкале температур). Поэтому перед расчётом ответа переведём данные температуры в Кельвины:

\[27^\circ\;C = 300\;К\]

\[327^\circ\;C = 600\;К\]

\[127^\circ\;C = 400\;К\]

Посчитаем ответ:

\[\frac{{{\eta _1}}}{{{\eta _2}}} = \frac{{\left( {600 — 300} \right) \cdot 400}}{{\left( {400 — 300} \right) \cdot 600}} = 2\]