Решение: Идеальный тепловой двигатель совершает за один цикл работу 30 кДж

Условие задачи:

Идеальный тепловой двигатель совершает за один цикл работу 30 кДж. Если температура нагревателя 127 °C, а температура холодильника 27 °C, то какое количество теплоты отдано за один цикл холодильнику?

Задача №5.5.58 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(A=30\) кДж, \(t_н=127^\circ\) C, \(t_х=27^\circ\) C, \(Q_х-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя \(\eta\) (то есть такого, который работает по циклу Карно) можно определять сразу по двум следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
\eta = \frac{A}{{{Q_н}}} \hfill \\
\eta = \frac{{{T_н} – {T_х}}}{{{T_н}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Известно, что количество теплоты \(Q_н\), полученное от нагревателя, количество теплоты \(Q_х\), переданное холодильнику и работа двигателя \(A\) связаны следующим равенством:

\[{Q_н} = {Q_х} + A\]

Вышеприведённая система примет вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
\eta = \frac{A}{{{Q_х} + A}} \hfill \\
\eta = \frac{{{T_н} – {T_х}}}{{{T_н}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда имеем такое равенство:

\[\frac{A}{{{Q_х} + A}} = \frac{{{T_н} – {T_х}}}{{{T_н}}}\]

\[{Q_х} + A = \frac{{A{T_н}}}{{{T_н} – {T_х}}}\]

\[{Q_х} = \frac{{A{T_н}}}{{{T_н} – {T_х}}} – A\]

Осталось только привести выражение в правой части под общий знаменатель:

\[{Q_х} = \frac{{A{T_н} – A{T_н} + A{T_х}}}{{{T_н} – {T_х}}}\]

\[{Q_х} = \frac{{A{T_х}}}{{{T_н} – {T_х}}}\]

Задача решена в общем виде. Перед тем, как приступить к расчёту численного ответа, переведём данные в условии температуры в систему СИ:

\[127^\circ\;C = 400\;К\]