Решение: Один моль одноатомного идеального газа нагревается при постоянном объеме

Условие задачи:

Один моль одноатомного идеального газа нагревается при постоянном объеме до температуры 280 К. Какое количество теплоты необходимо сообщить ему, чтобы давление увеличилось в 3 раза?

Задача №5.5.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=1\) моль, \(V=const\), \(T_2=280\) К, \(p_2=3p_1\), \(Q-?\)

Решение задачи:

Согласно первому закону термодинамики количество теплоты \(Q\), подведённое к газу, расходуется на изменение внутренней энергии газа \(\Delta U\) и на совершение газом работы \(A\). Запишем закон в математической форме:

\[Q = \Delta U + A\;\;\;\;(1)\]

Внутренняя энергия идеального газа зависит исключительно от температуры, её изменение \(\Delta U\) возможно найти по формуле:

\[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T\]

Работа газа \(A\) в изохорном процессе (\(V=const\)) равна нулю:

\[A = 0\]

Учитывая два последних полученных выражения, формула (1) примет вид:

\[Q = \frac{3}{2}\nu R\Delta T\;\;\;\;(2)\]

Для определения изменения абсолютной температуры газа \(\Delta T\) в изохорном процессе необходимо найти начальную температуру газа \(T_1\), для чего воспользуемся законом Шарля:

\[\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{T_2}}}\]

Откуда:

\[{T_1} = {T_2}\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}\]

По условию задачи давление увеличилось в 3 раза, то есть \(p_2=3p_1\), поэтому:

\[{T_1} = {T_2}\frac{{{p_1}}}{{3{p_1}}} = \frac{1}{3}{T_2}\]

Найдём изменение температуры газа \(\Delta T\):

\[\Delta T = {T_2} – {T_1} = {T_2} – \frac{1}{3}{T_2}\]

\[\Delta T = \frac{2}{3}{T_2}\]

Тогда формула (2) с учётом этого выражения станет такой:

\[Q = \frac{3}{2}\nu R \cdot \frac{2}{3}{T_2}\]

\[Q = \nu R{T_2}\]

Произведём расчёт численного ответа задачи: