Решение: Определите работу, совершаемую одним молем газа за цикл, если

Условие задачи:

Определите работу, совершаемую одним молем газа за цикл, если \(\frac{p_2}{p_1}=2\), \(T_1=280\) К, \(T_2=360\) К (схема к условию приведена справа).

Задача №5.4.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=1\) моль, \(\frac{p_2}{p_1}=2\), \(T_1=280\) К, \(T_2=360\) К, \(A-?\)

Решение задачи:

Приведённый в условии график для нахождения работы газа в цикле \(A\) перестроим в координатах p-V. Для этого нужно произвести анализ каждого из процессов.

Итак, начнём. Процесс 1-2 – изохорный (\(V=const\)), поскольку график этого процесса в координатах p-T лежит на прямой, проходящей через начало координат. Так как температура газа в процессе увеличивается, то по закону Шарля давление растёт (хотя это итак понятно из исходного графика). Аналогично, изохорным является процесс 3-4, но так как температура газа в этом процессе уменьшается, то будет уменьшаться и давление.

Процесс 2-3 – изобарный (\(p=const\)). Температура газа в процессе растёт, поэтому по закону Гей-Люссака будет увеличиваться и объем. Также изобарным является процесс 4-1. Объем газа в этом процессе уменьшается, так как уменьшается температура.

С учётом всего вышесказанного получим следующий график (смотрите схему к решению).

Работа газа в цикле \(A\) равна площади этого цикла в координатах p-V. Если цикл обходится по часовой стрелке, то работа положительна (что имеет место в нашем случае), иначе – отрицательна. Тогда:

\[A = \left( {{p_2} – {p_1}} \right)\left( {{V_3} – {V_1}} \right)\;\;\;\;(1)\]

Запишем закон Гей-Люссака для изобарного процесса 4-1:

\[\frac{{{V_3}}}{{{T_2}}} = \frac{{{V_1}}}{{{T_1}}}\]

\[{V_3} = {V_1}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\;\;\;\;(2)\]

Учитывая выражение (2) и то, что по условию \(\frac{p_2}{p_1}=2\), формула (1) примет вид:

\[A = \left( {2{p_1} – {p_1}} \right)\left( {{V_1}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} – {V_1}} \right) = {p_1}{V_1}\left( {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} – 1} \right)\]

Теперь запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для состояния газа в точке 1:

\[{p_1}{V_1} = \nu R{T_1}\]

Тогда:

\[A = \nu R{T_1}\left( {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} – 1} \right)\]

\[A = \nu R\left( {{T_2} – {T_1}} \right)\]

Посчитаем ответ: