Решение: Сколько литров воды при 100 C нужно добавить к воде при 20 C, чтобы получить

Условие задачи:

Сколько литров воды при 100° C нужно добавить к воде при 20° C, чтобы получить 300 л воды при 40° C?

Задача №5.1.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_1=100^\circ\) C, \(t_2=20^\circ\) C, \(V=300\) л, \(t=40^\circ\) C, \(V_1-?\)

Решение задачи:

Объем воды \(V_1\) при температуре \(t_1\) смешивают с водой объемом \(V_2\) при температуре \(t_2\). Всего при смешении получится объем воды \(V\), который будет иметь температуру \(t\).

Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} = {Q_2}\]

Здесь \(Q_1\) – количество теплоты, отданное водой объемом \(V_1\) при остывании до температуры \(t\), а \(Q_2\) – количество теплоты, полученное объемом \(V_2\) при нагревании до температуры \(t\).

\[c{m_1}\left( {{t_1} – t} \right) = c{m_2}\left( {t – {t_2}} \right)\]

Выразим массу как произведение плотности воды на соответствующий объем:

\[c\rho {V_1}\left( {{t_1} – t} \right) = c\rho {V_2}\left( {t – {t_2}} \right)\]

\[{V_1}\left( {{t_1} – t} \right) = {V_2}\left( {t – {t_2}} \right)\]

Совершенно очевидно, что \({V_2} = V – {V_1}\), поэтому:

\[{V_1}\left( {{t_1} – t} \right) = \left( {V – {V_1}} \right)\left( {t – {t_2}} \right)\]

Мы получили такое равенство с одним неизвестным. Далее остаётся чистая математика: раскроем скобки, в одной части равенства соберем все члены с множителем \(V_1\), вынесем его за скобки и выразим его.

\[{V_1}{t_1} – {V_1}t = Vt – V{t_2} – {V_1}t + {V_1}{t_2}\]

\[{V_1}{t_1} = Vt – V{t_2} + {V_1}{t_2}\]

\[{V_1}{t_1} – {V_1}{t_2} = Vt – V{t_2}\]

\[{V_1}\left( {{t_1} – {t_2}} \right) = V\left( {t – {t_2}} \right)\]

\[{V_1} = \frac{{V\left( {t – {t_2}} \right)}}{{{t_1} – {t_2}}}\]

Переводить никакие величины в систему СИ не будем, тогда ответ получим в литрах.

\[{V_1} = \frac{{300 \cdot \left( {40 – 20} \right)}}{{100 – 20}} = 75\;л\]