Решение: Сосуд, содержащий воду, внесли в теплую комнату, причем за 15 мин температура

Условие задачи:

Сосуд, содержащий воду, внесли в теплую комнату, причем за 15 мин температура воды повысилась на 4 °C. Сколько нужно времени, чтобы в этой комнате растаял лёд той же массы, что и вода?

Задача №5.2.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\tau_1=15\) мин, \(\Delta t=4^\circ\) C, \(\tau_2-?\)

Решение задачи:

Чтобы изменить температуру воды некоторой массы \(m\) на величину \(\Delta t\), необходимо количество теплоты \(Q_1\), которое определяется по формуле:

\[{Q_1} = cm\Delta t\;\;\;\;(1)\]

Удельная теплоёмкость воды \(c\) равна 4200 Дж/(кг·°C).

А вот чтобы расплавить лёд такой же массы \(m\), нужно количество теплоты \(Q_2\), определяемое по другой формуле:

\[{Q_2} = \lambda m\;\;\;\;(2)\]

Удельная теплота плавления льда \(\lambda\) равна 330 кДж/кг.

Как вы должны понимать, вода нагревается (а лёд — плавится) из-за того, что происходит теплообмен с тёплым воздухом комнаты. Нет причин полагать, что подводимая тепловая мощность от воздуха \(N\), т.е. количество теплоты, которое передаётся воздухом за единицу времени, меняется со временем. Поскольку количество теплоты равно произведению тепловой мощности на время, мы можем получить такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{Q_1} = N{\tau _1} \hfill \\
{Q_2} = N{\tau _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая полученные ранее выражения (1) и (2), система примет вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
N{\tau _1} = cm\Delta t \hfill \\
N{\tau _2} = \lambda m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда:

\[\frac{{{\tau _2}}}{{{\tau _1}}} = \frac{\lambda }{{c\Delta t}}\]

\[{\tau _2} = \frac{{{\tau _1}\lambda }}{{c\Delta t}}\]

Мы решили задачу в общем виде. Переведём время \(\tau_1\) в систему СИ:

\[15\;мин = 15 \cdot 60\;с = 900\;с\]

Посчитаем ответ:

\[{\tau _2} = \frac{{900 \cdot 330 \cdot {{10}^3}}}{{4200 \cdot 4}} = 17679\;с = 294,6\;мин\]