В сосуде объемом 2 л находится гелий при давлении 100 кПа и температуре 200 К

Условие задачи:

В сосуде объемом 2 л находится гелий при давлении 100 кПа и температуре 200 К, а в сосуде объемом 5 л – неон при давлении 200 кПа и температуре 500 К. Определить температуру газа в сосудах после соединения их трубкой.

Задача №5.4.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_1=2\) л, \(p_1=100\) кПа, \(T_1=200\) К, \(V_2=5\) л, \(p_2=200\) кПа, \(T_2=500\) К, \(T-?\)

Решение задачи:

После смешения газов их давление и температура станет одинаковой. Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для гелия и неона до смешения и для смеси газов после смешения:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}{V_1} = {\nu _1}R{T_1} \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_2}{V_2} = {\nu _2}R{T_2} \;\;\;\;(2)\hfill \\
p\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = \left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Для решения этой задачи нужно понимать тот факт, что суммарная внутренняя энергия двух указанных газов после соединения сосудов трубкой не изменится. Почему? Дело в том, что внутреннюю энергию газа можно изменить передачей количества теплоты или совершением работы (обратитесь к первому закону термодинамики, чтобы убедиться в этом), но ни первого, ни второго при соединении сосудов с газами не произойдёт. Поэтому:

\[{U_1} + {U_2} = U\]

Распишем внутренние энергии по известным формулам:

\[\frac{3}{2}{\nu _1}R{T_1} + \frac{3}{2}{\nu _2}R{T_2} = \frac{3}{2}\left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT\]

\[{\nu _1}R{T_1} + {\nu _2}R{T_2} = \left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT\]

Учитывая уравнения (1)-(3), последнее равенство примет вид:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = p\left( {{V_1} + {V_2}} \right)\]

Тогда уравнение (3) можно записать в следующем виде:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT\;\;\;\;(4)\]

Количество вещества гелия \(\nu_1\) и неона \(\nu_2\) выразим из уравнений (1) и (2):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\nu _1} = \frac{{{p_1}{V_1}}}{{R{T_1}}} \hfill \\
{\nu _2} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{R{T_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Полученные выражения подставим в формулу (4):

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \left( {\frac{{{p_1}{V_1}}}{{R{T_1}}} + \frac{{{p_2}{V_2}}}{{R{T_2}}}} \right)RT\]

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \left( {\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} + \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}}} \right)T\]

В правой части этого равенства в скобках приведём под общий знаменатель:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \frac{{{p_1}{V_1}{T_2} + {p_2}{V_2}{T_1}}}{{{T_1}{T_2}}}T\]

И наконец последнее действие – выразим искомую температуру \(T\):

\[T = \frac{{\left( {{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2}} \right){T_1}{T_2}}}{{{p_1}{V_1}{T_2} + {p_2}{V_2}{T_1}}}\]

Переведём объемы гелия \(V_1\) и неона \(V_2\) в систему СИ:

\[2\; = 0,002\;м^3\]

\[5\; = 0,005\;м^3\]

Посчитаем численный ответ:

\[T = \frac{{\left( {100 \cdot {{10}^3} \cdot 0,002 + 200 \cdot {{10}^3} \cdot 0,005} \right) \cdot 200 \cdot 500}}{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 0,002 \cdot 500 + 200 \cdot {{10}^3} \cdot 0,005 \cdot 200}} = 400\;К = 127^\circ\;C \]

Ответ: 127 °C.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

5.4.34 Определите работу, совершаемую одним молем газа за цикл, если
5.4.36 Два одинаковых сосуда, содержащих одинаковое число молекул азота, соединены
5.4.37 Два сосуда, содержащие одинаковое количество атомов гелия, соединены краном

Пожалуйста, поставьте оценку
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: