Решение: Водяной пар массой 200 кг при температуре 100 C пропустили через воду при температуре

Условие задачи:

Водяной пар массой 200 кг при температуре 100 °C пропустили через воду при температуре 20 °C. Масса воды 4000 кг. До какой температуры нагрелась вода?

Задача №5.2.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=200\) кг, \(t_1=100^\circ\) C, \(t_2=20^\circ\) C, \(m_2=4000\) кг, \(t-?\)

Решение задачи:

В задачах, где происходят фазовые переходы, желательно проводить следующую оценку. В противном случае, если Вы начнете решать задачу, сразу используя уравнение теплового баланса, то можете получить неверный ответ (хотя он достаточно легко распознаётся).

Определим количество теплоты \(Q_1\), которое выделится при конденсации водяного пара массой \(m_1\). Это легко сделать по следующей формуле:

\[Q_1 = L{m_1}\]

Здесь \(L\) — удельная теплота парообразования (конденсации) воды, равная 2,26 МДж/кг.

\[Q_1 = 2,26 \cdot {10^6} \cdot 200 = 452 \cdot {10^6}\;Дж\]

Также определим количество теплоты \(Q_2\), необходимое для нагревания воды массой \(m_2\) от температуры \(t_2\) до температуры кипения \(t_1\).

\[{Q_2} = c{m_2}\left( {{t_1} — {t_2}} \right)\]

В этой формуле \(c\) — удельная теплоёмкость воды, равная 4200 Дж/(кг·°C). Тогда:

\[{Q_2} = 4200 \cdot 4000 \cdot \left( {100 — 20} \right) = 1344 \cdot {10^6}\;Дж\]

Так как \({Q_2} > {Q_1}\), значит конечным результатом пропускания воды через пар будет нагревание воды до некоторой температуры \(t\), лежащей в интервале от \(t_2\) до \(t_1\). В принципе от этой оценки можно было отказаться, поскольку в условии явно спрашивается «до какой температуры нагрелась вода». Мы это сделали исключительно в учебных целях.

Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} + {Q_3} = {Q_4}\;\;\;\;(1)\]

В этом равенстве \(Q_3\) — количество теплоты, выделяемое при охлаждении воды (образовавшейся из пара) массой \(m_1\) от температуры кипения \(t_1\) до искомой температуры \(t\), \(Q_4\) — количество теплоты, необходимое для нагревания воды массой \(m_2\) от температуры \(t_2\) до температуры \(t\).

Распишем равенство (1):

\[L{m_1} + c{m_1}\left( {{t_1} — t} \right) = c{m_2}\left( {t — {t_2}} \right)\]

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

\[L{m_1} + c{m_1}{t_1} — c{m_1}t = c{m_2}t — c{m_2}{t_2}\]

Соберем в правой части все члены с множителем \(t\), вынесем его за скобки, а в другой — все остальные:

\[L{m_1} + c{m_1}{t_1} + c{m_2}{t_2} = ct\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\]

В итоге мы получим такое решение задачи в общем виде:

\[t = \frac{{L{m_1} + c\left( {{m_1}{t_1} + {m_2}{t_2}} \right)}}{{c\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

Посчитаем ответ:

\[t = \frac{{2,26 \cdot {{10}^6} \cdot 200 + 4200 \cdot \left( {200 \cdot 100 + 4000 \cdot 20} \right)}}{{4200 \cdot \left( {200 + 4000} \right)}} = 49,4^\circ\;C = 322,4\;К\]