Условие задачи:

Тонкий медный провод массой 1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле 0,1 Тл так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

Задача №8.4.67 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1\) г, \(B=0,1\) Тл, \(\beta=90^\circ\), \(q-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если квадратную рамку вытягивают в линию, значит конечная площадь рамки (а значит и магнитный поток через неё) равна нулю. Поэтому изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно начальному магнитному потоку, то есть:

\[\Delta \Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

Понятно, что если угол между линиями магнитного поля и плоскостью рамки равен \(\beta\), то угол \(\alpha\) равен \(\left( {90^\circ — \beta } \right)\).

Если сторона квадратной рамки равна \(a\), то её площадь \(S\) равна:

\[S = {a^2}\]

Формула (1) в таком случае примет вид:

\[\Delta \Phi = B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\]

\[\Delta \Phi = B{a^2}\sin \beta \;\;\;\;(2)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (2) (откинем символ изменения времени «дельта»):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{B{a^2}\sin \beta }}{t}\;\;\;\;(3)\]

С другой стороны, из закона Ома следует, что:

\[{{\rm E}_i} = IR\;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в рамке, \(R\) — сопротивление рамки.

Приравняем (3) и (4), тогда:

\[\frac{{B{a^2}\sin \beta }}{t} = IR\]

Домножим обе части уравнения на время \(t\):

\[B{a^2}\sin \beta = ItR\]

Произведение силы тока \(I\) на время \(t\) даёт искомый протекший через рамку заряд \(q\), значит:

\[B{a^2}\sin \beta = qR\]

\[q = \frac{{B{a^2}\sin \beta }}{R}\;\;\;\;(5)\]

Сопротивление квадратной рамки \(R\) определим через площадь сечения провода \(S_{сеч}\) и длину стороны рамки \(a\) по формуле:

\[R = {\rho _{эл}}\frac{{4a}}{{{S_{сеч}}}}\;\;\;\;(6)\]

В этой формуле \(\rho_{эл}\) — удельное электрическое сопротивление меди, равное 17 нОм·м.

Распишем массу провода \(m\) через плотность \(\rho\), площадь сечения провода \(S_{сеч}\) и длину стороны рамки \(a\) по формуле:

\[m = 4\rho {S_{сеч}}a\]

Плотность меди \(\rho\) равна 8900 кг/м3.

Откуда имеем:

\[{S_{сеч}} = \frac{m}{{4\rho a}}\]

Учитывая полученное выражение, формула (6) примет следующий вид:

\[R = \frac{{16\rho {\rho _{эл}}{a^2}}}{m}\]

Это выражение подставим в формулу (5):

\[q = \frac{{Bm{a^2}\sin \beta }}{{16\rho {\rho _{эл}}{a^2}}}\]

\[q = \frac{{Bm\sin \beta }}{{16\rho {\rho _{эл}}}}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[q = \frac{{0,1 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot \sin 90^\circ }}{{16 \cdot 8900 \cdot 17 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 0,0413\;Кл = 41,3\;мКл\]

Ответ: 41,3 мКл.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.4.66 С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник длиной 20 см вокруг оси
8.4.68 Квадратная рамка со стороной 20 см расположена в магнитном поле так
8.4.69 В однородном магнитном поле с индукцией 0,02 Тл расположены вертикально

Пожалуйста, поставьте оценку
( 13 оценок, среднее 4.69 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 1
  1. Милада

    Можете рассказать, откуда берется такая сложная формула сопротивления через площадь сечения?

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: