Решение: Три воздушных конденсатора емкостью 1 мкФ каждый соединены последовательно

Условие задачи:

Три воздушных конденсатора емкостью 1 мкФ каждый соединены последовательно. Конденсаторы отключены от источника ЭДС. Заряд этой батареи равен 0,1 мКл. Пространство между обкладками одного из конденсаторов заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 2. Определите энергию, запасенную в батарее после заполнения конденсатора диэлектриком.

Задача №6.4.33 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_0=1\) мкФ, \(q=0,1\) мКл, \(\varepsilon=2\), \(W-?\)

Решение задачи:

Поскольку конденсаторы отключены от источника ЭДС, то заряд на обкладках конденсаторов будет всегда оставаться постоянным и равным \(q\). Понятно, что энергия батареи конденсаторов равна сумме энергий всех конденсаторов, поэтому:

\[W = 2{W_1} + {W_2}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(W_1\) — энергия двух конденсаторов, над которыми не производили манипуляций, \(W_2\) — энергия конденсатора, пространство между обкладками которого было заполнено диэлектриком. Указанные энергии можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{q^2}}}{{2{C_0}}} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{q^2}}}{{2C}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

При внесении диэлектрика в один из конденсаторов его электроемкость увеличится, и ее можно будет найти по формуле:

\[C = \varepsilon {C_0}\]

Тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{q^2}}}{{2{C_0}}} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{q^2}}}{{2\varepsilon {C_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим эти выражения в формулу (1):

\[W = \frac{{2{q^2}}}{{2{C_0}}} + \frac{{{q^2}}}{{2\varepsilon {C_0}}}\]

\[W = \frac{{{q^2}}}{{{C_0}}} + \frac{{{q^2}}}{{2\varepsilon {C_0}}}\]

\[W = \frac{{{q^2}\left( {2\varepsilon + 1} \right)}}{{2\varepsilon {C_0}}}\]

Мы решили задачу, теперь подставим данные в полученную формулу и посчитаем ответ:

\[W = \frac{{{{\left( {0,1 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}^2} \cdot \left( {2 \cdot 2 + 1} \right)}}{{2 \cdot 2 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 0,0125\;Дж = 12,5\;мДж\]