Условие задачи:

Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены до одинакового потенциала 0,1 В. Определите потенциал большой шарообразной капли, получившейся в результате слияния малых капель.

Задача №6.4.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$N=1000$, $\varphi_0=0,1$ В, $\varphi-?$

Решение задачи:

Вы должны понимать, что объем большой шарообразной капли $V$ равен сумме объемов $V_0$ всех маленьких капелек ртути, которых согласно условию всего $N$ штук. Поэтому имеет место равенство:

$$V = N{V_0}\;\;\;(1)$$

Пусть радиус большой капли равен $R$, радиус маленьких капелек — $r$, тогда, вспомнив формулу из математики для определения объема шара, можно записать формулу (1) в следующем виде:

$$\frac{4}{3}\pi {R^3} = N \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3}$$

$${R^3} = N{r^3}$$

Откуда:

$$\frac{R}{r} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(2)$$

Запишем формулы для определения электроемкостей большой $C$ и маленьких $C_0$ капель:

$$\left\{ \begin{gathered} C = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\ {C_0} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Поделим верхнее равенство на нижнее:

$$\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{R}{r}$$

Если учесть ранее полученное (2), имеем:

$$\frac{C}{{{C_0}}} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(3)$$

Из закона сохранения заряда следует, что между зарядом большой капли $q$ и зарядами $q_0$ капель в количестве $N$ штук существует соотношение:

$$q = N{q_0}$$

$$\frac{q}{{{q_0}}} = N\;\;\;(4)$$

Запишем формулы для определения потенциалов большой $\varphi$ и маленьких $\varphi_0$ капель через заряды и электроемкости:

$$\left\{ \begin{gathered} \varphi = \frac{q}{C} \hfill \\ {\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_0}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Поделим верхнее равенство на нижнее, тогда:

$$\frac{\varphi }{{{\varphi _0}}} = \frac{{q \cdot {C_0}}}{{{q_0} \cdot C}}$$

Учитывая (3) и (4), получим:

$$\frac{\varphi }{{{\varphi _0}}} = \frac{N}{{{N^{\frac{1}{3}}}}}$$

$$\varphi = {\varphi _0}{N^{\frac{2}{3}}}$$

Задача решена в общем виде, считаем ответ:

$$\varphi = 0,1 \cdot {1000^{\frac{2}{3}}} = 10\;В$$

Ответ: 10 В.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.5 Проводники, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы 40 и 60 В
6.4.7 Шар радиусом 15 см, заряженный до потенциала 300 В, соединяют проволокой
6.4.8 Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух