Условие задачи:

В калориметр налили 500 г воды, имеющей температуру 40 °C, и положили кусок льда массы 100 г, имеющей температуру -10 °C. Найти температуру содержимого калориметра после установления теплового равновесия. Теплоемкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь.

Задача №5.1.46 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=500\) г, \(t_1=40^\circ\) C, \(m_2=100\) г, \(t_2=-10^\circ\) C, \(t-?\)

Решение задачи:

В условии не указано явно, что лёд весь растает, поэтому нам следует проверить следующее условие (условие того, что весь лёд растает):

\[{Q_1} \geq {Q_2} + {Q_3}\]

В этой формуле:

  • \(Q_1\) — количество теплоты, выделяющейся при охлаждении воды массой \(m_1\) от температуры \(t_1\) до температуры плавления льда \(t_п\) (\(t_п=0^\circ\) C);
  • \(Q_2\) — количество теплоты, необходимое на нагревание льда массой \(m_2\) от температуры \(t_2\) до температуры плавления \(t_п\);
  • \(Q_3\) — количество теплоты, необходимое на плавление льда массой \(m_2\).

Распишем количества теплоты по известным формулам:

\[{c_в}{m_1}\left( {{t_1} — {t_п}} \right) \geq {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2}\]

Удельная теплоёмкость воды \(c_в\) равна 4200 Дж/(кг·°C), удельная теплоёмкость льда \(c_л\) равна 2100 Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда равна 330 кДж/кг.

Переведём массы в систему СИ:

\[500\;г = 0,5\;кг\]

\[100\;г = 0,1\;кг\]

Проверим, выполняется ли неравенство:

\[4200 \cdot 0,5 \cdot \left( {40 — 0} \right) \geq 2100 \cdot 0,1 \cdot \left( {0 — \left( { — 10} \right)} \right) + 330 \cdot {10^3} \cdot 0,1\]

\[84000\;Дж \geq 35100\;Дж\]

Видно, что неравенство выполняется, значит лёд всё-таки весь растает, поэтому воспользуемся уравнением теплового баланса:

\[{Q_1} = {Q_2} + {Q_3} + {Q_4}\]

Здесь \(Q_4\) — количество теплоты, необходимое на нагревание воды массой \(m_2\) (образованной при таянии льда) от температуры \(t_п\) до температуры \(t\). Значит:

\[{c_в}{m_1}\left( {{t_1} — t} \right) = {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}\left( {t — {t_п}} \right)\]

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

\[{c_в}{m_1}{t_1} — {c_в}{m_1}t = {c_л}{m_2}{t_п} — {c_л}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}t — {c_в}{m_2}{t_п}\]

Так как \(t_п=0^\circ\) C, то все члены с множителем \(t_п\) равны нулю.

\[{c_в}{m_1}{t_1} — {c_в}{m_1}t =  — {c_л}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}t\]

Все члены с множителем \(t\) перенесём в правую сторону, остальные члены — в левую сторону.

\[{c_в}{m_1}{t_1} + {c_л}{m_2}{t_2} — \lambda {m_2} = {c_в}{m_2}t + {c_в}{m_1}t\]

\[{c_в}{m_1}{t_1} + {c_л}{m_2}{t_2} — \lambda {m_2} = {c_в}t\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\]

\[t = \frac{{{c_в}{m_1}{t_1} + {c_л}{m_2}{t_2} — \lambda {m_2}}}{{{c_в}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

Посчитаем ответ:

\[t = \frac{{4200 \cdot 0,5 \cdot 40 + 2100 \cdot 0,1 \cdot \left( { — 10} \right) — 330 \cdot {{10}^3} \cdot 0,1}}{{4200 \cdot \left( {0,5 + 0,1} \right)}} = 19,4^\circ\;C \]

Ответ: 19,4 °C.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

5.1.45 Ванну емкостью 100 литров необходимо заполнить водой, имеющей температуру 30 C
5.1.47 В сосуд, содержащий 1 кг льда при температуре 0 C, влили 330 г воды при температуре 50 C
5.1.48 Слой льда толщиной 4,2 см имеет температуру 0 C. Какова минимальная толщина слоя воды

Пожалуйста, поставьте оценку
( 7 оценок, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 5
  1. Илья

    Вопрос: почему мы в Q1 вычитаем из начальной t конечную?

  2. Макс

    В калориметр налили 0,5 л воды при температуре 20 ° С и поместили 1кг льда при температуре -40 ° С. Какая температура установится в калориметре после завершения теплообмена? Удельные теплоемкости воды и льда равны соответственно 4200Дж / кг · ° С и 2100 Дж / кг · ° С. Удельная теплота плавления льда 340кДж / кг.
    Здесь лед не растает.Q1=42 Q2=84 Q3=340 А как дальше решить

    1. Easyfizika (автор)

      Учитесь рассуждать: у вас \({Q_1} < {Q_2}\), значит вода охладится до 0° C, а у льда еще будет температура ниже нуля. Из-за разности температур теплообмен будет происходить дальше: вода начнет кристаллизироваться (отдавая теплоту), а лед продолжит нагреваться. Если вся вода замерзнет, то она отдаст \({Q_3} = 170\) кДж. Теперь неравенство уже такое: \({Q_1} + {Q_3} > {Q_2}\). Получается, что лёд нагреется до температуры плавления 0° C за счет того, что вода охладится до 0° C и часть её кристаллизуется. Температуры компонентов смеси сравняются (она будет равна 0° C, надеюсь, Вы поняли), теплообмен прекратится.

  3. Никита

    У нас похожая задача только лед растаял. Какое будет уравнение теплового равенства,
    если лед растаял?

    1. Easyfizika (автор)

      \[{Q_1} = {Q_2} + {Q_3} + {Q_4}\]\[{c_в}{m_1}\left( {{t_1} — t} \right) = {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}\left( {t — {t_п}} \right)\]Эти уравнения приведены выше в решении

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: