Решение: В колено U-образной трубки площадью 1 см2, содержащей ртуть, налили 7,2 г воды

Условие задачи:

В колено U-образной трубки площадью 1 см², содержащей ртуть, налили 7,2 г воды и 20 г бензина. На сколько уровень жидкости в одном колене станет выше, чем в другом?

Задача №3.1.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=1\) см², \(m_{в}=7,2\) г, \(m_{б}=20\) г, \(\Delta h-?\)

Решение задачи:

На схеме видно, что:

\[\Delta h = {h_б} + {h_в} — {h_{рт}}\;\;\;\;(1)\]

Первые два слагаемых найдем по следующим формулам (по сути — формула нахождения объема через массу и плотность):

\[\left\{ \begin{gathered}
{h_б} = \frac{{{m_б}}}{{{\rho _б}S}} \hfill \\
{h_в} = \frac{{{m_в}}}{{{\rho _в}S}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Выделим на схеме горизонтальный уровень, ниже которого находится только ртуть. Закон сообщающихся сосудов говорит о том, что при равновесии давление жидкости на одном горизонтальном уровне одинаково, поэтому справедливо записать:

\[{p_{рт}} = {p_{б}} + {p_{в}}\;\;\;\;(2)\]

Давление столбика ртути высотой \(h_{рт}\) равно:

\[{p_{рт}} = {\rho _{рт}}g{h_{рт}}\]

Давление бензина и воды найдем по формуле-определению давления:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_б} = \frac{{{m_б}g}}{S} \hfill \\
{p_в} = \frac{{{m_в}g}}{S} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Равенство (2) примет следующий вид:

\[{\rho _{рт}}g{h_{рт}} = \frac{{{m_б}g}}{S} + \frac{{{m_в}g}}{S}\]

\[{h_{рт}} = \frac{{{m_б}}}{{{\rho _{рт}}S}} + \frac{{{m_в}}}{{{\rho _{рт}}S}}\]

В конечном счете формула (1) станет такой:

\[\Delta h = \frac{{{m_б}}}{{{\rho _б}S}} + \frac{{{m_в}}}{{{\rho _в}S}} — \frac{{{m_б}}}{{{\rho _{рт}}S}} — \frac{{{m_в}}}{{{\rho _{рт}}S}}\]

\[\Delta h = \frac{1}{S}\left( {\frac{{{m_б}}}{{{\rho _б}}} + \frac{{{m_в}}}{{{\rho _в}}} — \frac{{{m_б}}}{{{\rho _{рт}}}} — \frac{{{m_в}}}{{{\rho _{рт}}}}} \right)\]

Переведем некоторые величины в систему СИ:

\[1\;см^2 = {10^{ — 4}}\;м^2\]

\[7,2\;г = 0,0072\;кг\]

\[20\;г = 0,02\;кг\]

Плотность бензина \(\rho_{б}\) равна 700 кг/м³, плотность воды \(\rho_{в}\) — 1000 кг/м³, плотность ртути \(\rho_{рт}\) равна 13600 кг/м³. Произведем вычисление ответа:

\[\Delta h = \frac{1}{{{{10}^{ — 4}}}}\left( {\frac{{0,02}}{{700}} + \frac{{0,0072}}{{1000}} — \frac{{0,02}}{{13600}} — \frac{{0,0072}}{{13600}}} \right) = 0,338\;м = 338\;мм\]