Решение: В поле неподвижного точечного заряда 1 мкКл по направлению к нему движется

Условие задачи:

В поле неподвижного точечного заряда 1 мкКл по направлению к нему движется положительный ион массой 10^-26 кг и зарядом 1,6·10^-19 Кл. Когда скорость иона составляет 10⁵ м/с, его кинетическая и потенциальная энергия равны. На какое минимальное расстояние ион приблизится к заряду?

Задача №6.3.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(Q=1\) мкКл, \(m=10^{-26}\) кг, \(q=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл, \(\upsilon=10^{5}\) м/с, \(W_{к1}=W_{п1}\), \(d-?\)

Решение задачи:

Пусть в точке 1 кинетическая и потенциальная энергия иона равны, а в точке 2 ион будет находиться на минимальном расстоянии от точечного заряда. Запишем закон сохранения энергии для системы «ион — точечный заряд», когда ион находится в точках 1 и 2:

\[{W_{к1}} + {W_{п1}} = {W_{к2}} + {W_{п2}}\]

Когда ион максимально близится к точечному закрепленному заряду, то есть будет находиться в точке 2, его скорость (а значит и кинетическая энергия \(W_{к2}\)) будут равны нулю, поэтому:

\[{W_{к1}} + {W_{п1}} = {W_{п2}}\]

Так как по условию \(W_{к1}=W_{п1}\), то:

\[2{W_{п1}} = {W_{п2}}\]

Использую рисунок, распишем указанные потенциальные энергии взаимодействия зарядов:

\[\frac{{2kQq}}{l} = \frac{{kQq}}{d}\]

В этой формуле \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл².

Откуда получим:

\[d = \frac{l}{2} \;\;\;\;(1)\]

Теперь распишем уже упомянутое (данное в условии) равенство \(W_{к1}=W_{п1}\):

\[\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{kQq}}{l}\]

Выразим из равенства \(l\):

\[l = \frac{{2kQq}}{{m{\upsilon ^2}}}\]

Полученное подставим в (1):

\[d = \frac{{kQq}}{{m{\upsilon ^2}}}\]

Задача решена, посчитаем ответ:

\[d = \frac{{9 \cdot {{10}^9} \cdot 1 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}}{{{{10}^{ — 26}} \cdot {{\left( {{{10}^5}} \right)}^2}}} = 14,4\;м = 1440\;см\]