Решение: В сердечнике трансформатора, включенного в сеть переменного тока частотой 50 Гц

Условие задачи:

В сердечнике трансформатора, включенного в сеть переменного тока частотой 50 Гц, создан максимальный магнитный поток 1,5 мВб. Определить ЭДС первичной и вторичной обмоток трансформатора, если первичная обмотка имеет 670 витков, а вторичная — 90.

Задача №9.11.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=50\) Гц, \(\Phi_{1m}=1,5\) мВб, \(N_1=670\), \(N_2=90\), \(\rm E_{д1}-?\), \(\rm E_{д2}-?\)

Решение задачи:

При подключении выводов первичной обмотки к источнику переменного напряжения в ней возникает переменный ток. Если напряжение изменяется со временем по гармоническому закону с частотой \(\omega\), то по гармоническому закону с этой же частотой происходят изменения силы электрического тока в катушке и магнитного потока, создаваемого этим током:

\[\Phi_1 = {\Phi _{1m}}\cos \left( {\omega t} \right)\]

При изменениях магнитного потока в каждом витке провода первичной катушки возникает изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС самоиндукции:

\[{\rm E} = — \Phi _1^{\prime}\left( t \right) = \omega {\Phi _{1m}}\sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

Если число витков в первичной катушке равно \(N_1\), то мгновенное значение ЭДС самоиндукции в первичной катушке равно:

\[{{\rm E}_1} = {N_1}{\rm E} = {N_1}\omega {\Phi _{1m}}\sin \left( {\omega t} \right)\]

Циклическая частота \(\omega\) связана с частотой \(\nu\) по формуле:

\[\omega = 2\pi \nu \]

Тогда имеем:

\[{{\rm E}_1} = 2\pi \nu {N_1}{\Phi _{1m}}\sin \left( {\omega t} \right)\]

Максимальное значение ЭДС в первичной обмотке равно:

\[{{\rm E}_{1m}} = 2\pi \nu {N_1}{\Phi _{1m}}\]

Действующее значение ЭДС в первичной обмотке в \(\sqrt 2\) меньше максимального, поэтому:

\[{{\rm E}_{д1}} = \sqrt 2 \pi \nu {N_1}{\Phi _{1m}}\]

В случае переменного тока нас больше всего интересует именно действующее значение ЭДС, а не максимальное.

Вторичную катушку пронизывает тот же магнитный поток, который проходит через первичную катушку, то есть \(\Phi_1=\Phi_2\). При изменениях магнитного потока в каждом ее витке возникает ЭДС индукции, изменяющаяся по гармоническому закону (смотри формулу (1)). Если число витков провода во вторичной катушке равно \(N_2\), то мгновенное значение ЭДС в ней равно:

\[{{\rm E}_2} = {N_2}{\rm E} = {N_2}\omega {\Phi _{1m}}\sin \left( {\omega t} \right)\]

Если провести аналогичные рассуждения, что и для первичной обмотки, то получим:

\[{{\rm E}_{д2}} = \sqrt 2 \pi \nu {N_2}{\Phi _{1m}}\]

Посчитаем численные ответы:

\[{{\rm E}_{д1}} = \sqrt 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 670 \cdot 1,5 \cdot {10^{ — 3}} = 223,1\;В\]

\[{{\rm E}_{д2}} = \sqrt 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 90 \cdot 1,5 \cdot {10^{ — 3}} = 30\;В\]